4.6利用相似三角形测高 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.6利用相似三角形测高北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：丈尺，尺寸，则竹竿的长为( )
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
2.延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在一直线上已知王林目高，大树高，将平面镜放置在离王林处才能观测到大树的顶端．
A. B. C. D.
3.如图，已知菱形与菱形全等，菱形可以看作是菱形经过怎样的图形变化得到？下列结论：经过次平移和次旋转；经过次平移和次翻折；经过次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有个．其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
4.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点处竖立一根长为的标杆，如图所示，量出的影子的长度为，再量出旗杆的影子的长度为，那么旗杆的高度为( )
A. B. C. D.
5.如图，在方格纸中，经过变换得到，正确的变换是( )
A. 把绕点顺时针旋转，再向下平移格
B. 把绕点顺时针旋转，再向下平移格
C. 把向下平移格，再绕点逆时针旋转
D. 把向下平移格，再绕点顺时针旋转
6.如图，有一块直角三角形余料，，，分别是，边上的一点，现从中切出一条矩形纸条，其中，在上，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.图是墨经中记载的“小孔成像”实验图，图是其示意图，其中物距，像距若像的高度是，则物体的高度为( )
A. B. C. D.
8.生物小组要在温箱里培养，两种菌苗，种菌苗的生长温度的范围是，种菌苗的生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是( )
A. B. C. D.
9.如图是装了液体的高脚杯示意图数据如图用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径( )
A. B. C. D.
10.如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游玩，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同∽，若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为( )
A. B. C. D.
12.如图一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足：：，则的长为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，线段是线段经过向右平行移动 格，再向下平行移动 格后得到的线段线段向左平行移动 格，再向下平行移动 格后可得到线段．
14.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是 米．
15.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的处，然后沿着射线退后到点，这时恰好在镜子里看到山头，利用皮尺测量米，若小宇的身高是米，则假山的高度为______米结果保留整数
16.如图，晚上小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为米，左边的影子长为米，又知自己身高米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为米，则路灯的高为________米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
月日上午，庆祝中国共产主义青年团成立周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点、、在一条直线上，米，米，，已知，，，点、、、在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．
18.本小题分
如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
在图中，以为边画平行四边形，再将线段平移到，使点与点对应，点与点对应，画出线段；
在图中，过点画，且再在上找点，使．
19.本小题分
如图，将方格图中的图形向右平行移动格，再向下平行移动格，画出平行移动后的图形．
20.本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，请画出；
将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
借助网格，利用无刻度的直尺画出的中线保留作图痕迹．
21.本小题分
在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点解决下列问题：
已知的三个顶点都在格点上，将向右平移个单位，得到，请在网格图中画出若与相交于点，则
用无刻度的直尺画图：在上求作点，使保留作图痕迹
22.本小题分
已知三个顶点的坐标是，，，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．
请画出平移后的图形；
请直接写出点，，的坐标．
23.本小题分
下移个单位，再左移个单位后得到，已知的位置如图所示
请画出平移之前的；
求平移过程中线段扫过的面积．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，若三角形内任意一点，平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
在图中画出平移后的三角形；
三角形的面积为 ；
若为轴上一动点，当三角形的面积是时，求出点的坐标．
25.本小题分
如图，在每个小正方形边长为的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
补全；
请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
找要求各顶点在格点上，不与点重合，使其面积等于的面积．满足这样条件的点共____个．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行投影设竹竿的长度为尺，根据物体的高度与影长成正比即可得到，即可得到答案．
【解答】
解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得，即竹竿的长为四丈五尺．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，
，
∽，
，
，
解得：，
将平面镜放置在离王林处才能观测到大树的顶端，
故选：．
根据题意可得：，，，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质和几何变换，掌握相关性质是解题的关键．
依据旋转变换、平移变换以及轴对称变换，分别画图进行判断可得结论．
【解答】
解：如图，先将菱形向右平移，再绕着点顺时针旋转得到菱形，故正确；
如图，将菱形先平移，再沿直线翻折可得菱形，故正确；
如图，经过次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有和，共有个，故不正确；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】
解：
即，
米．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图平移变换与旋转变换，属于基础题．
观察图形即可解答．
【解答】
解：根据图形，绕点顺时针方向旋转，再向下平移格即可与重合．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
故选：．
根据题意推知∽，由该相似三角形的对应边成比例，求得的长度即可．
本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
即：
解得．
即物体的高度是．
8.【答案】
【解析】解：温箱里的温度应该设定在能使，两种菌苗同时满足的温度，即与的公共部分
由题意可列出不等式组，根据求不等式解集的方法可知温箱里的温度应该设定在。
因此本题选择。
9.【答案】
【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
∽，即相似比为，
，
，，
，
故选：．
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
在中，，
即，
解得．
故选：．
由，可得，进而可求解线段的长度．
此题考查的是平行线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：∽，
，
，
解得：，
缩略图距离眼睛的距离为，
故选：．
利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．由题意可得，利用相似三角形的性质构建方程即可求解．
【解答】
解：如图，设与交于点，
：：，
可设，则，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
解得，
．
故选A．
13.【答案】

【解析】【分析】
本题主要考查平移，解题的关键是掌握平移的变换的定义及其性质．
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的定义求解可得．
【解答】
解：由图知线段是线段经过向右平移格，再向下平移格得到的；
线段向左平移格，再向下平移格得到线段．
故答案为：，，，．
14.【答案】
【解析】【分析】由题意得，则∽，根据相似三角形的性质得，即可得．
【详解】解：如图：
，，
，
∽，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得∽，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．
【解答】
解：设路灯的高为米，
，，
．
∽．
同理∽，
，
，
解得米，
，
解得．
故答案为 ．
17.【答案】解：如图，延长交于，则，，
，，
，
∽，
，即，
，
同理得：∽，
，
，
，
米．
答：旗帜的宽度是米．
【解析】如图，延长交于，则，，证明∽和∽，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
18.【答案】解：如图中，平行四边形，线段即为所求；
如图中，线段，点即为所求．

【解析】根据平行四边形的定义以及性质解决问题即可；
利用旋转变换的性质作出线段，再利用等腰直角三角形的性质作出即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：如图所示

【解析】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
根据平移变换的定义和性质作图可得．
20.【答案】解：的三个顶点坐标分别是，，，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
对应点，，，在平面直角坐标系中找出各点并连接，如图所示，
即为所求图形．
将绕原点逆时针旋转后得到，根据旋转的性质，如图所示，
即为所求图形．
如图所示，根据平面直角坐标系的特点，每个小正方形的边长都是一个单位长度，以为对角线，作矩形，连接与交于点，连接，
即为的中线．
【解析】本题考查的是作图平移变换，作图旋转变换有关知识
根据图形平移的性质即可求解；
根据图形旋转的性质即可求解；
根据矩形的性质即可求解．
21.【答案】
解：如图，点为所求

【解析】【分析】
本题考查的是作图平移变换，格点作图，相似三角形的判定与性质有关知识
根据题意作出图形，然后再利用相似三角形的性质解答
根据题意直接作图
【解答】
解：如图，即为所作图形，连接
：：
见答案
22.【答案】解：如图，为所作；
，，．
【解析】利用点平移的坐标变换规律得到点，，的坐标，然后描点即可；
由得到点，，的坐标．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23.【答案】解：如图所示：
线段向下平移个单位扫过的面积为；
接着向左平移个单位扫过的面积为；
所以平移过程中扫过的面积一共为．
【解析】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．
将三个顶点分别向上平移个单位，再向右平移个单位得到对应点，再顺次连接即可得；
计算线段向下平移个单位扫过的面积，向左平移个单位扫过的面积相加即可．
24.【答案】【小题】
如图，三角形即为所求作
【小题】
【小题】
设点的纵坐标为，则，解得或．
点的坐标为或

【解析】 本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
根据点的对应点为，据此将各点的横坐标减、纵坐标加可得；
【分析】本题考查坐标于图形的性质，三角形的面积，掌握割补法是关键。
利用三角形的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答．
【解答】解：的面积
．
本题考查坐标与图形的性质，三角形的面积．
设点的纵坐标为，则，求出的值即可得出结果．
25.【答案】解：如图，
即为所求．
如图，
线段即为所求．
．

【解析】【分析】
本题考查作图平移变换，格点作图，中线，高，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用等高模型解决问题．
利用平移变换的性质分别作出，的对应点，，再依次连接即可；
根据三角形中线的定义画出图形即可；
利用等高模型，找到两侧与点到距离相等的点即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图：
满足条件的点有个．
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