4.7相似三角形的性质 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.7相似三角形的性质北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，是上一点，，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则的长为( )
A. 或 B. C. D. 或
2.两三角形的相似比是，则其面积之比是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知、分别在的、边上，∽，则下列各式成立的是( )
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，等腰三角形的位置如图所示，其中点第次将等腰三角形绕着点顺时针旋转，且各边长扩大为原来的倍得到等腰三角形；第次将等腰三角形绕着点继续顺时针旋转，且各边长扩大为等腰三角形各边长的倍得到等腰三角形；，以此类推，的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.若两个相似多边形的相似比为：，则它们周长的比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.如图，已知，，若的长度为，则的长度为
A. B. C. D.
7.如图，已知点，点，点是第一象限内的动点，且点的纵坐标为，若和相似，则符合条件的点个数是( )
A. B. C. D.
8.如图，游戏板正五边形中，点、、、、分别是、、、、的中点，假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次，飞镖击中阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，，分别是的边，上的点，∽若：：，则：的值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
10.如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为( )

A. B. C. D.
11.如图，矩形∽矩形，连结，延长分别交、于点Ⅰ、，延长、交于点，一定能求出面积的条件是( )
A. 矩形和矩形的面积之差
B. 矩形和矩形的面积之差
C. 矩形和矩形的面积之差
D. 矩形和矩形的面积之差
12.如圖，已知∽，且，若，則( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，中，，，点是边的中点，分别过点，作直线，，，过点作直线，分别交，于点，，则与之间的距离最大为 当以，，为顶点的三角形与相似时，以，，为顶点的三角形与的相似比的值为 ．
14.已知∽，其相似比为：，则它们的周长之比为______．
15.如图，已知矩形∽矩形，，，则的长为______．
16.如图，在的方格纸上建立直角坐标系，，，试在的网格中，以格点为顶点作与相似相似比不为，点的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，点，在边上，连接，，使，且∽．
请判定的形状，并说明理由；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，，是正方形边，上的点，，是上的点，，分别是，的中点，若，．
若∽：
求的长；
求的长；
随着点移动，猜想的长度是否会发生变化，证明你的猜想．
19.本小题分
如图，在中，分别是边上的点，且满足．
求证：；
如图，点是的中点，连接，若，求的长．
20.本小题分
如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
求证：是菱形：
若，则的值为______．
21.本小题分
在中，，、分别是、的点，且．
求证：；
求证：．
22.本小题分
如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，相似比是，连接，．
求证：．
若，，求的长．
23.本小题分
如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗请说明理由．
若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
24.本小题分
如图，已知∽．
若平分，，求的度数；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，已知中，，，动点沿方向从点向点运动，同时，动点沿方向从点向点运动，速度都为每秒个单位长度，，中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点作，交边于点，连结，设，的运动时间为．
直接写出的长；用含的代数式表示
若，求当为何值时，与相似；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．
【解答】
解：以、、为顶点的三角形与相似，
有∽和∽两种情况进行讨论，
当∽时，有，则，得；
当∽时，有，则，得，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：两三角形的相似比是：，
其面积之比是：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：∽，
，
，，，
，故A错误；
，
，故B正确；
，，
，故C错误；
，，
无法推出，故D错误．
故选：．
根据相似三角形的性质，写出各边的比例关系，然后根据比例的基本性质求解即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，明确对应的线段是本题解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题知，
，
所以每旋转四次，点所在的象限位置便重复出现，
又因为，
所以点在射线上．
因为点坐标为，
所以，且与轴的夹角为．
因为每次旋转后，各边长度扩大为上次的倍，
所以，，，，
依次类推，．
当时，
，
所以点到轴的距离为，点到轴的距离为，
即点的坐标为
故选：．
根据每次旋转得出点在的延长线上，再根据边长的变化规律求出的长度即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律及坐标与图形变化旋转，能根据所给变换方式发现位置及长度的变化规律是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：两个相似多边形的相似比为：，
两个相似多边形周长的比等于：，
故选：．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．
6.【答案】
【解析】解：∽，：：．
，
当时，．
故选：．
根据相似三角形的性质列比例式即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点的纵坐标为，
点在直线上．
当≌时，
，，
则；
当∽时，：：，
，
，
，
解得，
或
综上所述，符合条件的点有个．
故选：．
利用相似三角形的对应边成比例来求点的坐标．注意，全等是一种特殊的相似．
本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质．此题属于易错题，同学们解题时，往往忽略了全等是一种特殊的相似这一情况．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，几何概率有关知识，先说明正五边形∽正五边形，再求出面积比即可解决问题．
【解答】
解：如图，
点、、、、分别是、、、、的中点，
，正五边形∽正五边形，
，
飞镖击中阴影部分的概率是．
9.【答案】
【解析】解：∽如果：：，
：：：：，
故选：．
根据相似三角形的对应边的比相等直接写出答案即可．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应边的比相等，难度较小．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．
【解答】解：作交于点，则∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设矩形的边，，，，
则，，
即
矩形∽矩形，
，
即，
．
．
所以一定能求出面积的条件是矩形和矩形的面积之差．
故选：．
根据相似多边形的性质即可解答．
本题考查了相似多边形的性质、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
12.【答案】
【解析】解：
∽
．
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积．
本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质。
13.【答案】
或

【解析】【分析】
考查平行线之间的距离、相似三角形的性质等，考查学生的几何直观、空间观念及推理能力．
第一空根据勾股定理解答，第二空分两种情况讨论解答．
【解答】
解：平行线与之间的距离最大为线段的长，由，，得；
当以，，为顶点的三角形与相似时，若其直角边为，则相似比的值为
若其斜边为，则相似比的值为．
14.【答案】：
【解析】解：∽，其相似比为：，
它们的周长比为：，
故答案为：．
根据相似三角形的性质即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
15.【答案】
【解析】解四边形和四边形都是矩形，
，，
，
，，
，
矩形∽矩形，
，即，
负值舍去，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
先根据矩形的性质得到，再求出，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
16.【答案】或
【解析】解：如图，
的两直角边之比为：，那么两直角边之比为：，
，
当，，此时点，
当，，此时点，
故C点的坐标是或．
本题可根据图形得出与的长度比，再根据角或角为直角，来判断点的位置．
本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况．
17.【答案】解：为等边三角形，理由如下：
∽，
，
，
是等腰三角形，
又，
是等边三角形；
∽，
，
又，，的等边三角形，
，
负值已舍，
如图，过点作于，
，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据三角形相似结合即可判断；
根据三角形相似得出等式求出等边三角形边的长从而得出高，即可得出结果．
18.【答案】解：∽
四边形为正方形，
，
四边形为矩形
得
作于，于，于，如图，
四边形为矩形，，分别是，的中点，

，
同理，
，
易得四边形为矩形，
，
随着点移动，的长度不会发生变化
由上述论证可知，
，


不会发生变化．
【解析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理等．
根据相似三角形得出，再根据正方形和矩形的性质，可得的长；
作于，于，于，从而的到矩形以及直角三角形，根据平行线分线段成比例，勾股定理，可得的长
在直角三角形中，因为、的值固定，不随着点移动而变动，所以的长度不会改变
19.【答案】解：，，
∽，
，
即．
由可知∽，
，
又，
，
又，
∽，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些是解答本题的关键．
依据已知的条件推出∽，由相似的性质得出结论；
依据∽推出和点是的中点推出∽，由相似的性质逐步推出结论．
20.【答案】【详解】的平分线交于点，
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
同理，．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
由知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：

【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键
21.【答案】【小题】
证明：，
．
，，
．
．
【小题】
，
，即
设，，则．
．
，即．

【解析】
本题考查了相似三角形的性质与判定；
先证明，，即可得证；

根据的结论得出，设，，则得出，即可得证．
22.【答案】【小题】
证明：菱形∽菱形，，，，，．，，，．
【小题】
如图，连接交于点，则．
，．
菱形∽菱形，相似比是，，，，，，
，
．

【解析】 见答案
见答案
23.【答案】解：不相似．理由如下：
原矩形的长，宽，
划分后小矩形的长为，宽为，
又，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
每个小矩形与原矩形不相似．
原矩形的长，宽，
划分后小矩形的长为，宽为，
又每个小矩形与原矩形相似，
，即．
【解析】根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
24.【答案】解：∽，
，
平分，，
，
；
∽，
，
，，
，
解得：．
【解析】直接利用相似三角形的性质得出，再结合已知条件得出答案；
利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
25.【答案】解：，，
，
，
；
，，
，
，
，
，，，
，
和相似，
或，
或，
解得：，舍去，舍去，，
则当或时，与相似．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，关键是根据题意得出等式或方程．
根据，，即可求出；
根据平行线得出比例式，求出，根据和，得出比例式，代入即可求出答案．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)