2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题（含答案）

二○二四年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试卷
考生注意：
1.考试时间120分钟
2.全卷共三道大题，总分120分
3.使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)
1．的相反数是（ ）
A．5 B．－5 C． D．
2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9·
6．如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠－1
7．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0A． B．
C． D．
10．如图，二次函数的图象与x轴交于(－1，0)，，其中．结合图象给出下列结论：
①ab>0；②a－b＝－2；
③当x>1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程的另一个根是；
⑤b的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题3分，满分21分)
11．共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝______．
13．在函数中，自变量x的取值范围是______．
14．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm．
15．如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，，则实数k的值为______．
16．已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段CP的长为______．
17．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，OC与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为______．
三、解答题(本题共7道大题，共69分)
18．(本题共2个小题，第(1)题6分，第(2)题4分，共10分)
(1)计算：
(2)分解因式：
19．(本题满分5分)解方程：
20．(本题满分8分)为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．
(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)如下表：
组别 A B C D
成绩(x/分) 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人数(人) m 94 n 16
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：m＝______，n＝______；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°；
(4)若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
21．(本题满分10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
22．(本题满分10分)领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a＝______米/秒，t＝______秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
23．综合与实践(本题满分12分)如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
24．综合与探究(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当EF＝AC时，求点P的坐标；
(4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小值为______．
二○二四年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试题参考答案及评分说明
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C D D B B A C B A
二、填空题(每小题3分，满分21分)
11． 12．2 13．x>－3且x≠－2 14． 15．－6
16．或2(只有一个答案且正确得2分，出现错误答案不得分) 17．
三、解答题(满分69分)
18．(本题共2个小题，满分10分)
(1)(本题满分6分)计算：解：原式
(2)(本题满分4分)分解因式：
解：原式
19．(本题满分5分)解方程：解：(x－2)(x－3)＝0
(其它方法作答，只要正确，均可得满分，若只解出一个正确答案得2分)
20．(本题满分8分)
(1)50，40
(2)如图所示
(说明：画对一个图得1分)
(3)72 (4)94÷47%＝200，
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数大约是560人．
21．(本题满分10分)
(1)证明：连接OC
∵CD⊥AB ∴∠CDB＝90°
∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB
∴∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°
∵OB，OC是⊙O的半径 ∴OB＝OC
∴∠OCB＝∠OBC ∴∠EBC＝∠OCB ∴
∴∠FCO＝∠BEC＝90° ∴FC⊥OC于点C
又∵OC为⊙O的半径 ∴CF是⊙O的切线
(2)解：∵ ∴∠CFB＝45°
由(1)得∠FCO＝90° ∴∠FOC＝90°－∠CFB＝45°
∵CD⊥AB ∴∠CDO＝90°
∵AB＝8 ∴
在Rt△COD中，∠AOC＝45°
∴
∴
∴
∴
22．(本题满分10分)
(1)8，20
(2)解：由图象可知，N(19，96)
∵甲无人机的速度为48÷6＝8(米/秒)
甲无人机匀速上升从0米到96米所用时间为96÷8＝12(秒)
甲无人机单独表演所用时间为19－12＝7(秒)
∴6＋7＝13(秒)∴M(13，48)－2分
设线段MN所在直线解析式为y＝kx＋b(k≠0)
将M(13，48)，N(19，96)代入得：
解得：
线段MN所在直线解析式为：y＝8x－56
(3)2秒或10秒或16秒
(只要有1个正确答案得1分；只要有2个正确答案得2分；只有3个正确答案得3分；除3个正确答案外，还有其它错误答案得2分)
23．综合与实践(本题满分12分)
(1)AB＝DE
(2)解：∵∠CBD＝90° ∴∠ABC＋∠DBE＝90°
∵∠A＝90° ∴∠ABC＋∠ACB＝90°
∴∠DBE＝∠ACB
又∵∠A＝∠DEB＝90°且CB＝BD
∴△ABC≌△EDB(AAS)
∴DE＝AB，BE＝AC
∵AB＝2，AC＝6 ∴DE＝2，BE＝6
∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8
∵∠DEB＋∠A＝180°
∴ ∴△DEF∽△CAF
∴ ∴
∴EF＝4 ∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10
∴
(3)
(4)或
(只要有1个正确答案得1分；只有2个正确答案得2分；除2个正确答案外，还有其它错误答案得1分)
24．综合与探究(本题满分14分)
(1)解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C
当y＝0时，x＝4 ∴A(4，0)
当x＝0时，y＝－2 ∴C(0，－2)
又∵B(－1，0) ∴设该抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)
把C(0，－2)代入得：－2＝a(0＋1)(0－4)∴
∴
∴抛物线的解析式为
(2)
(3)∵轴 ∴∠PEA＝∠OAC
∵轴 ∴∠PFE＝∠OCA
又∵EF＝AC ∴△AOC≌△EPF(ASA)
∴PF＝OC＝2 ∵点P是抛物线位于第四象限图象上的动点
设点
则点
∴
∴
解得m＝2 当m＝2时，
∴P(2，－3)
(4)
说明：以上各题，若用其它方法作答，只要正确，依据步骤可酌情给分．