河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·尚义月考） 观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a为正相关，b为负相关，c为不相关
B．a为负相关，b为不相关，c为正相关
C．a为负相关，b为正相关，c为不相关
D．a为正相关，b为不相关，c为负相关
【答案】A
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：根据给定的散点图，可得a中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关，
b中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关，
c中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关.
故答案为：A.
【分析】根据散点图与变量的相关关系可得：数据分布在散点图左下方到右上方的区域里，为正相关；数据分布在散点图左上方到右下方的区域里，为负相关；数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关.，根据图象特征据此可判断出选项.
2．（2024高二下·尚义月考） 随机变量，且，则（ ）
A．6.4 B．12.8 C．25.6 D．3.2
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】根据二项分布的期望（均值）计算公式可列出方程，解方程可求出，再利用二项分布的方差计算公式可求出，再根据方差的性质公式进行计算可求出答案.
3．（2024高二下·尚义月考） 小张和小王2个人计划五一去旅游，从张家口草原天路、承德避暑山庄、北京颐和园、秦皇岛北戴河四个景点中各选择一个作为旅游目的地，则不同的选法有（ ）
A．6种 B．9种 C．8种 D．16种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先小张进行选择，有4种选法，因为没有别的限制条件，接下来小王也有4种选法.
由分步乘法记数原理，不同选法有：种.
故答案为：D
【分析】根据分步计数原理可得：第一步小张进行选择，有4种选法；第二步小王进行选择，有4种选法，根据分步计数原理可得出答案.
4．（2024高二下·尚义月考） 若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
所以.
故答案为：D
【分析】通过赋值法，令，代入式子，化简可求答案；
5．（2024高二下·尚义月考） 某盒子中有6个质地大小相同的小球，其中有2个红色，4个白色，从这个盒子中摸取2个球，记摸到红色球的个数为X，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：随机变量的所有可能为0，1，2，
，，，
故.
故答案为：C
【分析】先找出随机变量的所有可能取值，再求出变量对应的概率，再利用离散型随机变量的期望计算公式可求出期望.
6．（2024高二下·尚义月考） 某学校运动会闭幕式原定表演4个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）
A．16 B．30 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：设临时增加的两个节目为、，先加入，因为原来的4个节目顺序不变，且这4个节目出现5个空，
所以节目有5种加入方式；再加入节目，同理，节目有6种加入方式.
由分步乘法记数原理，不同的排法种数有：种.
故答案为：B
【分析】本问题需要分两步完成，第一步先将节目加入原来的4个节目中；第二步再将节目加入排好的四个节目中，根据分步乘法计数原理可选出答案.
7．（2024高二下·尚义月考） 某学生在研究性学习中，收集到某品牌汽车今年前5个月的销售量（单位：万辆）的数据如下表所示，若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（ ）
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万辆） 5 6 7 8 10
A．x增加1个单位长度，则y一定增加1.2个单位长度
B．x减少1个单位长度，则y必减少1.2个单位长度
C．当时，y的预测值为10.8万辆
D．线性回归直线经过点
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：，，
代入线性回归方程中得，所以，故线性回归方程为，
A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加1.2个单位长度，A错误；
B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少1.2个单位长度，B错误；
C：当时，，C正确；
D：线性回归直线必经过点，D错误.
故答案为：C
【分析】先求出平均数，将代入可求出，据此了求出回归直线方程，根据时，．x增加1个单位长度，则y平均增加个单位长度；时，．x增加1个单位长度，则y平均减少个单位长度；据此可判断A选项和B选项；当时，代入线性回归直线方程进行计算可判断C选项；根据线性回归直线必经过点，可判断D选项；
8．（2024高二下·尚义月考） 富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C
【分析】根据正态分布的对称性可得：，代入数据可求出答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·尚义月考） 如下图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．决定系数变小
D．解释变量x与响应变量y的相关性变强
【答案】A,D
【知识点】变量相关关系；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数的值变大，决定系数的值变大，残差平方和变小.
故答案为：AD.
【分析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，再结合相关系数，决定系数，残差平方和的统计学意义，可判断选项，据此可选出答案.
10．（2024高二下·尚义月考）两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为，已知市和市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为，若用表示某天受台风袭击的城市个数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：A，由已知有，解得，A正确；
B，有，B正确；
C，有，C错误；
D，有，从而，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用对立事件的概率可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断A选项；利用对立事件概率公式进行计算可判断B选；根据的值，利用相互独立事件的概率进行计算可判断C选项；先求出，再利用方差的计算公式进行计算可判断D选项.
11．（2024高二下·尚义月考） 设A、B、C为随机事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．，则A，B相互独立
B．若，则A，B相互独立
C．是A、B、C两两独立的充分条件
D．若，则与相等
【答案】A,B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，A正确；
B：及，得，即，所以A，B相互独立，B正确；
C：对于事件，，，若，，，及成立，
则，，相互独立，缺一不可，故，不能推出，，两两独立，C错误；
D：，
，而，所以等式不成立，D错误.
故答案为：AB
【分析】直接利用相互独立事件的概念可判断A；根据题意利用条件概率的计算公式可推出，再利用相互独立事件的概念可判断B选项；根据题意可得：不能推出，‘，利用相互独立事件的概念可判断C选项；利用条件概率的计算公式进行计算推理可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·尚义月考）的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】1120
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题可知展开式中的常数项为：.
故答案为：1120
【分析】利用二项展开式的原理，要想得到常数项，需要选4个项，4个项，据此可列出式子，通过计算可求出答案.
13．（2024高二下·尚义月考） 从分别标有1，2，3， …，7的7张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为奇数的条件下，抽到第2张卡片上的数也为奇数的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，
事件B：“第二次取到的卡片标有奇数数字”，则，，
所以.
故答案为：
【分析】记事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有奇数数字”，先求出，，再利用条件概率公式计算公式进行计算可求出答案.
14．（2024高二下·尚义月考） 在我国南穼数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，即杨辉三角．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 ，第2024行的第 个数最大．
【答案】；1013
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为：.
第2024行有2025个数，中间的一个数最大，是第.
故答案为：；1013
【分析】根据杨辉三角的性质，先找出从左到右第2个数与第3个数，据此可求出之比；根据分析可得第2024行有2025个数，利用二项式性质可求出最大数的位置.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·尚义月考） 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于6的位置．
【答案】（1）解：设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动次，且每次移动是相互独立，则.
质点回到原点，则，
所以质点回到原点的概率是；
（2）解：当质点位于的位置时，则，，
所以质点位于的位置的概率是.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）设质点向右移动的次数为，质点回到原点可知质点向右移动次，向左移动次，根据题意可得：，利用二项分布的概率计算公式可求出答案；
（2）质点位于的位置可知质点向右移动次，向左移动次，据此可得：，利用二项分布的概率计算公式可求出答案；
16．（2024高二下·尚义月考） 李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，.
（1）求李教授迟到的概率；
（2）现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率.
【答案】（1）解：设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”；
则，，
由全概率公式得：.
（2）解：由题意可知所求概率为，
由贝叶斯公式得：.
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）设“这位教授迟到”；“乘飞机”；“乘动车”；“自己开车”，先求出，，利用全概率公式进行计算可求出答案；
（2）由题意可知所求概率为，利用贝叶斯公式进行计算可求出答案.
17．（2024高二下·尚义月考） 桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量y约为多少
附：相关系数公式，参考数据：，回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：．
【答案】（1）解：通过散点图可知，，，
所以，
，
，
所以，
因为，所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）解：由（1）可知，，，
所以.
当时，.
所以预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量约为6.5千克.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由散点图求出、、、、，再利用相关系数的计算公式进行计算可求出，再将与0.75的进行比较，可判断线性回归模型拟合y与x的关系 .
（2）利用线性回归方程的计算公式先求出和，据此可写出线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测可求出答案.
18．（2024高二下·尚义月考） RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响．
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为，
设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为：
.
（2）解：由题意，的值可以为：2，3，4，5
且，，，.
所以的分布列为：
2 3 4 5
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先求出丙胜乙的概率，设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为：
，再利用二项分布的概率计算公式进行计算，可求出答案.
（2）先找出的值，再利用二项分布的概率计算公式可求出对应概率，据此可列出的分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.
19．（2024高二下·尚义月考） 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”．
（1）从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如下表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否推断“乒乓球爱好者”与性别有关
（2）随机抽取了50位女生和位男生进行调查，得到如下数据：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 30
总计
若根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，求实数m的最小值，附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由题意：，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，能推断“乒乓球爱好者”与性别有关.
（2）解：依题意，列联表如下：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 20 30 50
总计 50
所以，
设（）
则，
因为，所以.
所以在上单调递增.
所以：越大，的值越大，
又当时，，
当时， ；
当时，；
所以根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，则，即的最小值为57.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】（1）根据列联表，先计算，再将与临界值6.635进行比较，据此可作出判断.
（2）完成列联表，再计算，设，求出导函，进而可判断出在上单调递增，再根据可求的取值范围，据此可求出的最小值.
1 / 1河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·尚义月考） 观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a为正相关，b为负相关，c为不相关
B．a为负相关，b为不相关，c为正相关
C．a为负相关，b为正相关，c为不相关
D．a为正相关，b为不相关，c为负相关
2．（2024高二下·尚义月考） 随机变量，且，则（ ）
A．6.4 B．12.8 C．25.6 D．3.2
3．（2024高二下·尚义月考） 小张和小王2个人计划五一去旅游，从张家口草原天路、承德避暑山庄、北京颐和园、秦皇岛北戴河四个景点中各选择一个作为旅游目的地，则不同的选法有（ ）
A．6种 B．9种 C．8种 D．16种
4．（2024高二下·尚义月考） 若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2024高二下·尚义月考） 某盒子中有6个质地大小相同的小球，其中有2个红色，4个白色，从这个盒子中摸取2个球，记摸到红色球的个数为X，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·尚义月考） 某学校运动会闭幕式原定表演4个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）
A．16 B．30 C．32 D．64
7．（2024高二下·尚义月考） 某学生在研究性学习中，收集到某品牌汽车今年前5个月的销售量（单位：万辆）的数据如下表所示，若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（ ）
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万辆） 5 6 7 8 10
A．x增加1个单位长度，则y一定增加1.2个单位长度
B．x减少1个单位长度，则y必减少1.2个单位长度
C．当时，y的预测值为10.8万辆
D．线性回归直线经过点
8．（2024高二下·尚义月考） 富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·尚义月考） 如下图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．决定系数变小
D．解释变量x与响应变量y的相关性变强
10．（2024高二下·尚义月考）两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为，已知市和市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为，若用表示某天受台风袭击的城市个数，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·尚义月考） 设A、B、C为随机事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．，则A，B相互独立
B．若，则A，B相互独立
C．是A、B、C两两独立的充分条件
D．若，则与相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·尚义月考）的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
13．（2024高二下·尚义月考） 从分别标有1，2，3， …，7的7张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为奇数的条件下，抽到第2张卡片上的数也为奇数的概率为 .
14．（2024高二下·尚义月考） 在我国南穼数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，即杨辉三角．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 ，第2024行的第 个数最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·尚义月考） 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于6的位置．
16．（2024高二下·尚义月考） 李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，.
（1）求李教授迟到的概率；
（2）现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率.
17．（2024高二下·尚义月考） 桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量y约为多少
附：相关系数公式，参考数据：，回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：．
18．（2024高二下·尚义月考） RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响．
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望.
19．（2024高二下·尚义月考） 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”．
（1）从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如下表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否推断“乒乓球爱好者”与性别有关
（2）随机抽取了50位女生和位男生进行调查，得到如下数据：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 30
总计
若根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，求实数m的最小值，附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：根据给定的散点图，可得a中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关，
b中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关，
c中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关.
故答案为：A.
【分析】根据散点图与变量的相关关系可得：数据分布在散点图左下方到右上方的区域里，为正相关；数据分布在散点图左上方到右下方的区域里，为负相关；数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关.，根据图象特征据此可判断出选项.
2．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】根据二项分布的期望（均值）计算公式可列出方程，解方程可求出，再利用二项分布的方差计算公式可求出，再根据方差的性质公式进行计算可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先小张进行选择，有4种选法，因为没有别的限制条件，接下来小王也有4种选法.
由分步乘法记数原理，不同选法有：种.
故答案为：D
【分析】根据分步计数原理可得：第一步小张进行选择，有4种选法；第二步小王进行选择，有4种选法，根据分步计数原理可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
所以.
故答案为：D
【分析】通过赋值法，令，代入式子，化简可求答案；
5．【答案】C
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：随机变量的所有可能为0，1，2，
，，，
故.
故答案为：C
【分析】先找出随机变量的所有可能取值，再求出变量对应的概率，再利用离散型随机变量的期望计算公式可求出期望.
6．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：设临时增加的两个节目为、，先加入，因为原来的4个节目顺序不变，且这4个节目出现5个空，
所以节目有5种加入方式；再加入节目，同理，节目有6种加入方式.
由分步乘法记数原理，不同的排法种数有：种.
故答案为：B
【分析】本问题需要分两步完成，第一步先将节目加入原来的4个节目中；第二步再将节目加入排好的四个节目中，根据分步乘法计数原理可选出答案.
7．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：，，
代入线性回归方程中得，所以，故线性回归方程为，
A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加1.2个单位长度，A错误；
B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少1.2个单位长度，B错误；
C：当时，，C正确；
D：线性回归直线必经过点，D错误.
故答案为：C
【分析】先求出平均数，将代入可求出，据此了求出回归直线方程，根据时，．x增加1个单位长度，则y平均增加个单位长度；时，．x增加1个单位长度，则y平均减少个单位长度；据此可判断A选项和B选项；当时，代入线性回归直线方程进行计算可判断C选项；根据线性回归直线必经过点，可判断D选项；
8．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C
【分析】根据正态分布的对称性可得：，代入数据可求出答案.
9．【答案】A,D
【知识点】变量相关关系；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数的值变大，决定系数的值变大，残差平方和变小.
故答案为：AD.
【分析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，再结合相关系数，决定系数，残差平方和的统计学意义，可判断选项，据此可选出答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：A，由已知有，解得，A正确；
B，有，B正确；
C，有，C错误；
D，有，从而，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用对立事件的概率可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断A选项；利用对立事件概率公式进行计算可判断B选；根据的值，利用相互独立事件的概率进行计算可判断C选项；先求出，再利用方差的计算公式进行计算可判断D选项.
11．【答案】A,B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，A正确；
B：及，得，即，所以A，B相互独立，B正确；
C：对于事件，，，若，，，及成立，
则，，相互独立，缺一不可，故，不能推出，，两两独立，C错误；
D：，
，而，所以等式不成立，D错误.
故答案为：AB
【分析】直接利用相互独立事件的概念可判断A；根据题意利用条件概率的计算公式可推出，再利用相互独立事件的概念可判断B选项；根据题意可得：不能推出，‘，利用相互独立事件的概念可判断C选项；利用条件概率的计算公式进行计算推理可判断D选项.
12．【答案】1120
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题可知展开式中的常数项为：.
故答案为：1120
【分析】利用二项展开式的原理，要想得到常数项，需要选4个项，4个项，据此可列出式子，通过计算可求出答案.
13．【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，
事件B：“第二次取到的卡片标有奇数数字”，则，，
所以.
故答案为：
【分析】记事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有奇数数字”，先求出，，再利用条件概率公式计算公式进行计算可求出答案.
14．【答案】；1013
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为：.
第2024行有2025个数，中间的一个数最大，是第.
故答案为：；1013
【分析】根据杨辉三角的性质，先找出从左到右第2个数与第3个数，据此可求出之比；根据分析可得第2024行有2025个数，利用二项式性质可求出最大数的位置.
15．【答案】（1）解：设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动次，且每次移动是相互独立，则.
质点回到原点，则，
所以质点回到原点的概率是；
（2）解：当质点位于的位置时，则，，
所以质点位于的位置的概率是.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）设质点向右移动的次数为，质点回到原点可知质点向右移动次，向左移动次，根据题意可得：，利用二项分布的概率计算公式可求出答案；
（2）质点位于的位置可知质点向右移动次，向左移动次，据此可得：，利用二项分布的概率计算公式可求出答案；
16．【答案】（1）解：设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”；
则，，
由全概率公式得：.
（2）解：由题意可知所求概率为，
由贝叶斯公式得：.
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）设“这位教授迟到”；“乘飞机”；“乘动车”；“自己开车”，先求出，，利用全概率公式进行计算可求出答案；
（2）由题意可知所求概率为，利用贝叶斯公式进行计算可求出答案.
17．【答案】（1）解：通过散点图可知，，，
所以，
，
，
所以，
因为，所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）解：由（1）可知，，，
所以.
当时，.
所以预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量约为6.5千克.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由散点图求出、、、、，再利用相关系数的计算公式进行计算可求出，再将与0.75的进行比较，可判断线性回归模型拟合y与x的关系 .
（2）利用线性回归方程的计算公式先求出和，据此可写出线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测可求出答案.
18．【答案】（1）解：因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为，
设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为：
.
（2）解：由题意，的值可以为：2，3，4，5
且，，，.
所以的分布列为：
2 3 4 5
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先求出丙胜乙的概率，设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为：
，再利用二项分布的概率计算公式进行计算，可求出答案.
（2）先找出的值，再利用二项分布的概率计算公式可求出对应概率，据此可列出的分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.
19．【答案】（1）解：由题意：，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，能推断“乒乓球爱好者”与性别有关.
（2）解：依题意，列联表如下：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 20 30 50
总计 50
所以，
设（）
则，
因为，所以.
所以在上单调递增.
所以：越大，的值越大，
又当时，，
当时， ；
当时，；
所以根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，则，即的最小值为57.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】（1）根据列联表，先计算，再将与临界值6.635进行比较，据此可作出判断.
（2）完成列联表，再计算，设，求出导函，进而可判断出在上单调递增，再根据可求的取值范围，据此可求出的最小值.
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