2023-2024学年甘肃省武威六中高二（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省武威六中高二（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布，若的值在内的概率约为，则的值约为( )
参考数据：若，则．
A. B. C. D.
4.如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，且，则此圆台的内切球与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且使得四边形为正方形，则正实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本：，，，的均值为，标准差为，样本：，，，的方差为，则样本和样本的( )
A. 平均数相等 B. 方差相等 C. 极差相等 D. 中位数相等
10.已知复数，，，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
11.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有个不同的点，，，，组成公差为的等差数列，则下列结论正确的是( )
A. 该椭圆的焦距为 B. 的最小值为
C. 的值可以为 D. 的值可以为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______用数字作答．
13.已知，，，则的最小值为______．
14.袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共个其中有个红球，若从中一次取出个小球，记恰有只黄球的概率为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在各项均不相等的等差数列中，，且，，等比数列，数列的前项和满足．
求数列、的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且．
求证：；
求平面与平面所夹二面角余弦值．
17.本小题分
民航招飞是指普通高校飞行技术专业本科通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等项流程，其中前项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取据统计，每位报名学生通过前项流程的概率依次约为，，，假设学生能否通过这项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞．
Ⅰ估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅱ求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅲ根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
如图，椭圆：的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为．
求椭圆的方程；
已知不经过点的直线：交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
当时，求证：存在实数，使．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设数列的公差为，则，，
，，成等比数列，，即，
整理得，解得舍去或，
，
当时，，
当时，满足上式，
数列的通项公式为．
，
则数列的前项和
．
16.证明：如图，连接，，
四边形是正方形，，
平面，平面，
，又，平面，平面，
平面，又平面，
；
由知，，，，，两两垂直，
如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，，
平面，
平面的一个法向量为，
，又，
，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量，
设平面与平面所夹二面角的平面角为，
则，
平面与平面所夹二面角余弦值为．
17.解：Ⅰ因为每位报名学生通过前项流程的概率依次约为，，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅱ因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅲ因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的溉率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率，
依题意的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：由已知，，，可得，
又因为，即，
所以，即，，
所以椭圆的方程为．
证明：联立，得，
，设，，
则，，
，，即，
即，
又，，，
即，
把代入得：
，
得或，
所以直线的方程为或，
所以直线过定点或舍去，
综上所述直线过定点．
19.解：，则，
曲线在处的切线与直线垂直，
切线的斜率为，
，．
当时，
不等式即，
转化为对任意恒成立，
设，则，的解为，
极小值
最小值为
实数的取值范围；
证明：当时，显然有，即存在实数使；
当，时，由可得，
在时，，函数在上单调递减，
时，，函数在上单调递增，
即是的极小值．
设，则，令，得，故有下表：
极大值
有唯一的极值，极大值．
当时，，．
综上，若，存在实数使．
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