2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-28 14:32:24 | ||
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文档简介
2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（下）月考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是单位向量，且的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ．
A. B. C. D.
4.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则为( )
A. B. C. D.
5.若，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知在一个表面积为的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
8.已知点为所在平面内一点，且满足，则直线必经过的( )
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 异面直线和所成角为
C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为
11.如图，在正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面则下列命题中正确的有( )
A. 侧面上存在点，使得
B. 直线与直线所成角可能为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 设正方体棱长为，则过点，，的平面截正方体所得的截面面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心到侧面的距离是______．
13.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为______．
14.已知，，三点都在表面积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
若，求和的值；
若，求的最小值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
求角的大小；
若的外接圆周长为，求边上的中线长．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，，求三角形的周长．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且．
设平面，求证：；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；
当最小时，求三棱锥的外接球的表面积．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．
证明：平面．
求点到平面的距离．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，可得，
所以，
由点是线段的中点，可得，
又因为，且不共线，所以根据平面向量基本定理，得；
因为，，
由得，可知，
根据、、三点共线，得，即，
所以
由，，得，
所以，即，
当且仅当，即时取等号，可知的最小值为．
16.解：因为，
根据正弦定理可得，
因为，
所以，
即，因为，所以；
由，所以，
如图，取中点，连接，
记的外接圆的半径为，则，解得，
根据正弦定理可得，所以，即．
根据余弦定理可得
，
所以，故BC边上的中线长为．
17.解：由正弦定理得，
即，
则，
，，
，得；
由知，，
又，，
由余弦定理可得：，
即，解得舍或．
三角形的周长为．
18.证明：连接，因为且，
所以为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，
所以；
解：在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积；
取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，
所以平面，所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，
所以，解得，则，
所以外接球的表面积．
19.证明：四边形是矩形，，
平面，平面，
，又，
平面，
，
四边形是平行四边形，是的中点，
，，
又，，平面．
平面．
解：连接，则点到平面的距离即为点到平面的距离．
在中，，，，
，且，
，
设到平面的距离为，则．
又，
，即．
点到平面的距离为．
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数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是单位向量，且的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ．
A. B. C. D.
4.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则为( )
A. B. C. D.
5.若，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知在一个表面积为的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
8.已知点为所在平面内一点，且满足，则直线必经过的( )
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 异面直线和所成角为
C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为
11.如图，在正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面则下列命题中正确的有( )
A. 侧面上存在点，使得
B. 直线与直线所成角可能为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 设正方体棱长为，则过点，，的平面截正方体所得的截面面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心到侧面的距离是______．
13.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为______．
14.已知，，三点都在表面积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
若，求和的值；
若，求的最小值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
求角的大小；
若的外接圆周长为，求边上的中线长．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，，求三角形的周长．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且．
设平面，求证：；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；
当最小时，求三棱锥的外接球的表面积．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．
证明：平面．
求点到平面的距离．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，可得，
所以，
由点是线段的中点，可得，
又因为，且不共线，所以根据平面向量基本定理，得；
因为，，
由得，可知，
根据、、三点共线，得，即，
所以
由，，得，
所以，即，
当且仅当，即时取等号，可知的最小值为．
16.解：因为，
根据正弦定理可得，
因为，
所以，
即，因为，所以；
由，所以，
如图，取中点，连接，
记的外接圆的半径为，则，解得，
根据正弦定理可得，所以，即．
根据余弦定理可得
，
所以，故BC边上的中线长为．
17.解：由正弦定理得，
即，
则，
，，
，得；
由知，，
又，，
由余弦定理可得：，
即，解得舍或．
三角形的周长为．
18.证明：连接，因为且，
所以为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，
所以；
解：在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积；
取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，
所以平面，所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，
所以，解得，则，
所以外接球的表面积．
19.证明：四边形是矩形，，
平面，平面，
，又，
平面，
，
四边形是平行四边形，是的中点，
，，
又，，平面．
平面．
解：连接，则点到平面的距离即为点到平面的距离．
在中，，，，
，且，
，
设到平面的距离为，则．
又，
，即．
点到平面的距离为．
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