2023-2024学年云南省大理白族自治州下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）（含答案）

2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，，那么与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6.在正方体中，为的中点，则直线与所成角为( )
A. B. C. D.
7.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式其中、、、为三角形的三边和面积表示在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 面积的最大值是 D. 面积的最大值是
8.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.演讲比赛中，位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下个分数的( )
A. 极差为 B. 数为和
C. 中位数为 D. 第百分位数为
10.下列说法中正确的是( )
A. 若：，，则的否定为：，
B. 已知复数满足，则
C. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
11.已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
12.如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，，点是圆周上异于，的任意一点，，分别是、的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 三棱锥外接球的表面积是
D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，共17分。
13.已知向量，，若，则 ．
14.若“，使”是假命题，则实数的取值范围为______．
15.如图，一栋建筑物高，在该建筑物的正东方向有一个通信塔在它们之间的地面点、、三点共线测得对楼顶、塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得对塔顶的仰角为，则通信塔的高为
16.设函数．
______；
若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．
Ⅰ求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
Ⅱ试估计该校学生满意度打分的平均数和的分位数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后位；
Ⅲ若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取人了解情况，求在打分、中分别抽取的人数．
18.本小题分
如图，已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知，且_____．
在，且，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分
Ⅰ求；
Ⅱ求的取值范围．
20.本小题分
已知向量，函数．
Ⅰ当时，求的单调递增区间；
Ⅱ将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
求证：平面；
求二面角的正切值．
22.本小题分
若定义在上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的称为函数的上确界．
求函数的上确界；
已知函数，证明：为函数的一个上界；
已知函数，若为的上界，求实数的取值范围．
参考数据：，．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ由频率分布直方图可知，，
解得，
所以该校学生满意度打分不低于分的人数为：人；
Ⅱ平均数为：分，
因为，，
所以的分位数位于内，设其为，
则，
解得，
即的分位数约为分；
Ⅲ由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，
所以打分在和内的频率之比为：，
所以在打分中抽取的人数为人，在打分中抽取的人数为人．
18.Ⅰ证明：，
，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
为等腰直角三角形，，
又，、平面，
平面．
Ⅱ解：为等腰直角三角形，，
，
由Ⅰ知，平面，
平面，，
，，
设点到平面的距离为，
由Ⅰ知，平面，
为的中点，
，即，
，
即点到平面的距离为．
19.解：Ⅰ若选，依题意得，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
又，所以．
若选，，
因为，
所以，
展开整理得，，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，，
因为，所以，即，
又，所以．
若选，因为，所以，即，
由余弦定理得，，
所以，
所以，即
因为，所以或，即或舍，
所以．
Ⅱ由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
20.解：Ⅰ已知向量，函数，
则
，
若要单调递增，则，即，
而，故或，
所以在范围内的单调递增区间是和；
Ⅱ将的图象向左平移个单位长度后，得到，
由于在上递增，在上递减，，
故原命题等价于关于的方程在上恰有一根，且不是根，
设，则由二次函数的性质知命题等价于或，
即或，即，
所以的取值范围是．
21.证明：设，则是中点，连接，
又是中点，，
又平面，平面，
平面；
解：，，
平面，平面，
，同理，
，，平面，
平面，而平面，故BC，
是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
二面角的正切值为．
22.解：依题意，
故，，
故的上确界为；
证明：令，
故原函数化为，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且借助参考数据可得，
故，故为函数的一个上界；
依题意，在上恒成立，即对恒成立，
令，故对恒成立，
所以，
设，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，在上的最小值为，
所以实数的取值范围为．
第1页，共1页