【高中数学人教B版（2019）同步练习】第一章 集合与常用逻辑用语综合题（含答案）

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【高中数学人教B版（2019）同步练习】
第一章 集合与常用逻辑用语综合题
一、单选题
1．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知集合A＝{x|xA．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2
3．已知 ，则“ ”是“ 恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（　　）
A．，， B．菱形的两条对角线相等
C． D．一次函数的图象是直线
5．函数 ，定义数列 如下： ， .若给定 的值，得到无穷数列 满足：对任意正整数 ，均有 ，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 ”；命题 ：“ ，使得 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（　　）
A．
B．若集合中只有一个元素，则
C．命题“”的否定是“”
D．若命题“”为假命题，则
8．关于函数 的描述错误的命题是（　　）
A． ，
B． ，
C． ， ，
D． ， ，
三、填空题
9．已知命题 ：方程 无实数根，命题 ： ；那么 是 的　 　条件.（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空）
10．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则 U（A∪B）=　 　．
11．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是　 　.
12．设非空集合 ，从A到Z的两个函数分别为 ， ，若对于A中的任意一个x，都有 ，则满足要求的集合A有　 　.
13．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（ ， ），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是　 　．
14．定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b
③若a＞0，b＞0，则 b
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2
其中的真命题有：　 　．（写出所有真命题的编号）
四、解答题
15．已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
16．已知，，求，.
17．集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，a∈R，x∈R}，
（1）求A的子集；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
18．设集合Sn={1，2，3…n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．
（Ⅰ） 写出S4的所有奇子集；
（Ⅱ） 求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
19．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.
（1） 是 的 ▲ 条件
（2）已知 ，求证： 的 ▲ 条件是
20．设集合 ，若A∩B=B，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
2．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
4．【答案】D
【知识点】全称量词；命题的真假判断与应用
5．【答案】A
【知识点】必要条件
6．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
7．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；集合的分类；命题的否定
8．【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
9．【答案】充分非必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
10．【答案】{2}
【知识点】交、并、补集的混合运算
11．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
12．【答案】31个
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
13．【答案】②③
【知识点】命题的真假判断与应用
14．【答案】①③④
【知识点】命题的真假判断与应用
15．【答案】（1），，
，
是方程的一个根，
；
（2），则，
，解得
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
16．【答案】解：或，
或.
因此，或，或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
17．【答案】（1）解：集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，
∵x2+4x=0，
解得：x1=0，x2=﹣4，
∴集合A={﹣4，0}．
那么集合A的子集为：{﹣4}，{0}，{﹣4，0}和
（2）解：集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，a∈R，x∈R}
由方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0
∵△=4（a+1）2﹣4a2+4，
当△＜0时，即a＜﹣1．
∴方程无解，此时B A成立．
当△=0时，即a=﹣1，方程有一个解，
①x1=0，即a2﹣1=0，解得a=±1，故得a=﹣1．
②x2=﹣4，即a2﹣8a+7=0，解得a=1或a=7，故a无解．
当△＞0时，即a＞﹣1，方程有两解，x1=0，x2=﹣4，解得a=1，
综上所得：B A，实数a的取值范围是{a|a≤﹣1或a=1}
【知识点】集合间关系的判断
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当n=4时，s4={1，2，3，4}，∵X的容量为奇数，则X为Sn的奇子集，∴所有的奇子集应为为{1}、{3}、{1，2}、{1，4}、{3，4}、{2，3}、{1，2，4}、{2，3，4}；（Ⅱ）证明：设S为Sn的奇子集，令T=，则T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集，S=与之对应，故Sn的奇子集与偶子集个数相等；（Ⅲ）对任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2n﹣1个，用上面的对应方法可知，在i≠1时，这2n﹣1个子集中有一半时奇子集，在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3，同样可得其中有一半时奇子集，于是在计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2n﹣2i，∴奇子集容量之和是=n（n+1） 2n﹣3，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，故当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
【知识点】子集与真子集
19．【答案】（1）解：当 时， 或 ，此时 不一定成立，如 满足 ，而不满足 ，当 时，可得 且 ，所以 ，
所以 是 的必要不充分条件
（2）解： 的充要条件是 ，
证明：必要性：因为 ，所以 ， ，
所以 ，
充分性：因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的充要条件是
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
20．【答案】解：根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B是A的子集，
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，
分4种情况讨论：
①B= ，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；
②B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，
则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，
③B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，
则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，
④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，
则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，
综合可得：a=1或a≤﹣1．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
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