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湘教版九上3.4 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．如图，给出下列条件：；；；，其中不能判定∽的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①，∠A为公共角，即可得∽（有两组角对应相等的两个三角形相似）
，∠A为公共角，即可得∽（有两组角对应相等的两个三角形相似）
∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判断∽
可以判断∽（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判断定理即可求出答案.
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
3．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC=4：1，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．4：1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE：EC=4：1，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证明△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得。
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若AC=6，BC=8，则AD的长为（ ）
A．5 B．7 C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，DE⊥AB，AE=BE=5，
∴△BED∽△BCA，
∴，即
解得，BD=，
∴AD=，
故答案为：D.
【分析】由勾股定理求出AB=10，由线段垂直平分线的性质可得DA=DB，DE⊥AB，AE=BE=5，证明△BED∽△BCA，可得，据此求出BD的长即可.
5．如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠FBA=90°，
∴△EDA≌△FBA（SAS），
∴EA=FA，∠EAD=∠FAB，
∴∠FAE=∠DAB=90°，
∴△FEA为等腰直角三角形，
∴∠EFA=∠FEA=45°，
∴，
∵，
∴，①正确；
由题意得△DHC≌△DHA（SSS），
∴，
若，
∴∠HCD=∠CHD=67.5°，
∵EH=CH，
∴∠ECH=∠CEH=67.5°，
∵E为动点，
∴∠ECH=∠CEH=67.5°不一定成立，②错误；
∵45°+∠DHE=45°＋∠DAE，
∴∠EHD=∠DAE，
∴，③正确；
由题意得△EDH∽△KFA，
∴，
∴，④正确；
∴有3个正确的结论；
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到EA=FA，∠EAD=∠FAB，再运用等腰直角三角形的判定与性质结合题意即可判断①；先根据三角形全等的判定与性质即可得到，先假设结论②成立，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠ECH=∠CEH=67.5°，再结合题意即可判定结论②是错误的；根据题意结合已知条件即可判断③；根据相似三角形的判定与性质证明△EDH∽△KFA，进而即可得到，再结合题意即可求解。
二、填空题
6．有两个角 的两个三角形相似.
【答案】对应相等
【解析】【解答】解：有两个对应角对应相等的两三角形相似.
故答案为：对应相等.
【分析】利用相似三角形的判定定理：有两个对应角对应相等的两三角形相似可得答案.
7． 若，且，的面积为，则的面积为 .
【答案】32
【解析】【解答】解：∵，且
∴
∵的面积为，即
解得：
故答案为：32
【分析】根据相似三角形性质可得，再代入的面积，即可求出答案.
8．如图所示，∠1=∠2，请补充条件：若 (写一个即可)，则.
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠EAD=∠CAB，
添加：∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE.
故答案为：∠B=∠D.
【分析】利用已知可证得∠EAD=∠CAB，再添加一组对应角相等即可证得△ABC∽△ADE.
三、解答题
9．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.
10．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE点F．
（1）求证：；
（2）若，，求，的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边的中点，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
即，
解得：，
则，
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，证出，根据相似三角形的判定即可得解；
（2）由勾股定理求出，由相似三角形的性质得出 ，求出 ，由 ， 即可得的长．
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一、单选题
1．如图，给出下列条件：；；；，其中不能判定∽的条件为（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
3．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC=4：1，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．4：1
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若AC=6，BC=8，则AD的长为（ ）
A．5 B．7 C．3 D．
5．如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．有两个角 的两个三角形相似.
7． 若，且，的面积为，则的面积为 .
8．如图所示，∠1=∠2，请补充条件：若 (写一个即可)，则.
三、解答题
9．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
10．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE点F．
（1）求证：；
（2）若，，求，的长．
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