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湘教版九上4.1 正弦和余弦
一、单选题
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（ ）
A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线
的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线
交于点B，连接AB，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，的对角线与相交于点，，，若．则的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
5．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
7．如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为 ．
8．已知在中，，那么的值是 ．
三、解答题
9．已知，，，．求∠A的余弦值和正切值
10．如图，点D是斜边上一点，点E是直线左侧一点，且，．
（1）求证：；
（2）如果点D是斜边的中点，且，试求的值．
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湘教版九上4.1 正弦和余弦
一、单选题
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】如图所示：
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosα=．
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（ ）
A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，
∴sinA=，
∴BC=ABsinA=5sinA，
故答案为：A．
【分析】根据sinA=求出BC 即可.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线
的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线
交于点B，连接AB，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A、B分别向y轴做垂线，垂足分别为C、D，
轴，
轴
，在
中，设
，则
故答案为：C.
【分析】过点A、B分别向y轴做垂线，垂足分别为C、D，根据同角的余角相等可得∠OAD=∠BOC，证明△OAD∽△BOC，根据sinB的正弦函数可设AO=
a，AB=5a，根据勾股定理表示出BO，得到tanB的值，结合反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质可得
，据此计算.
4．如图，的对角线与相交于点，，，若．则的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD⊥BD，∠ABD=30°，AD=，
∴tan∠ABD=tan30°=，
∴BD=6.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO=3，AD=BC=，
∴CO=.
故答案为：C.
【分析】利用三角函数的概念可得BD的值，由平行四边形的性质可得BO=DO，AD=BC，然后在Rt△OBC中，利用勾股定理进行计算.
5．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵，E为的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③过点E作于点M，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故③正确；
④，
故④正确；
综上共有4个正确.
故答案为：D.
【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.
二、填空题
6．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
【答案】3cm
【解析】【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，过点A作AD⊥BC于D.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB=6cm，
∴AD=AB sin60°=6×=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由等边三角形的各角都等于60度可得∠B=60°，然后在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数sin60°=可求解.
7．如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D ，
∴AC∥BD，
∴∠B=∠A，
∴tanB=tanA=.
故答案为：.
【分析】根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AC∥BD，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠A，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
8．已知在中，，那么的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在中，，
．
故答案为：．
【分析】利用余弦的定义可得。
三、解答题
9．已知，，，．求∠A的余弦值和正切值
【答案】解：∵，，，
∴AB，
则cosA，tanA．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦和正切的定义求解即可。
10．如图，点D是斜边上一点，点E是直线左侧一点，且，．
（1）求证：；
（2）如果点D是斜边的中点，且，试求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
设，则，
∴．
∵点D是斜边的中点，
∴．
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求证。先利用两个角相等证明，即得出，即，再利用两边对应成比例且夹角相等证明；
（2）根据锐角三角函数的定义式、直角三角形斜边中线的性质、相似三角形的性质求解。由正切的定义可得出，设，则，由勾股定理可求出，由直角三角形斜边中线的性质可求出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解．
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