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湘教版九上4.2 正切
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴BC＝＝＝，
∴sinA＝＝＝，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用正弦的定义可得sinA＝＝＝。
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝4，
∴cosA＝ ＝ ，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，然后利用三角函数定义计算 cosA的值即可.
3．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：
解得：
在Rt△ACB中，
故答案为：C.
【分析】根据河堤的横断面迎水坡的坡比是 ，求出AC的长度，再利用勾股定理即可求出AB的值.
4．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
5．如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
二、填空题
6．若α是锐角且sinα=，则α的度数是 ．
【答案】60°
【解析】【解答】解：由α是锐角且sinα=，可得∠α=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可。
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则sinB等于 .
【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
，
∴sinB=
，
故答案为：
.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，利用sinB=
即可求解.
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC=10，
∴AB=BC=AB=AD=CD=10，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴∠CBO=，
∴PE=BP，
∴PM+BP=PM+PE≤MF，
∵点P在BD上，
∴当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，
∵AM=3，
∴CM=AC-AM=10-3=7，
在Rt△MFC中，∠MCF=60°，
∴sin∠MCF=，
∴MF=MCsin60°=，
∴MP+PB最小=MF=．
故答案为：.
【分析】过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，根据菱形的性质结合已知条件可得AB=BC=AB=AD=CD=10，推出△ABC与△ACD均为等边三角形，得∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，根据菱形的性质可得∠CBO=∠ABC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得PE=BP，则PM+BP=PM+PE≤MF，故当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，易得CM=AC-AM=7，根据三角函数的概念可得MF，据此解答.
三、解答题
9．如图，在中，，，，求的值．
【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得.
则
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的值；根据解直角三角形的方法，可得tanB的值.
10．已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：CG2=GE GF；
（2）如果DG=GB，且AG⊥BF，求cos∠F．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADG，
在△ADG和△CDG中，，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，CG=AG
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCG=∠DAG，
∴△GAE∽△GFA，
∴AG2=GE GF，
∴CG2=GE GF；
（2）解：∵BF∥CD，DG=GB，
∴，
∴BF=2CD=16，AF=8，
∴∠ABD=∠DAG=∠F，
∴△DAG∽△DBA，
∴AD2=DG BD，
∴DG=，BG=，
∴cosF=cos∠ABG=．
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得到CD=AD，∠CDG=∠ADG，进而结合三角形全等的判定与性质证明△ADG≌△CDG（SAS）即可得到∠DAG=∠DCG，CG=AG，再根据平行线的性质即可得到∠F=∠DCG=∠DAG，进而运用相似三角形的判定与性质即可求解；
（2）先根据平行线分线段成比例即可得到，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可得到DG=，BG=，从而根据三角函数的定义即可求解。
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一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
A． B． C． D．
4．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
二、填空题
6．若α是锐角且sinα=，则α的度数是 ．
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则sinB等于 .
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
三、解答题
9．如图，在中，，，，求的值．
10．已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：CG2=GE GF；
（2）如果DG=GB，且AG⊥BF，求cos∠F．
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