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湘教版九上4.3 解直角三角形
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．15 C． D．
2．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点连接MN交AC于D，交AB于E，连接BD，若，则BC的长为（ ）．
A．8 B．7 C．4 D．3
4．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
二、填空题
6．已知在中，，，，那么的长是 ．
7．如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
8．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为 ．
三、解答题
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．
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湘教版九上4.3 解直角三角形
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．15 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
由勾股定理得，即
解得
∴
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可得。
2．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由tanA==2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=，
因此，sinA=，
故答案为：C．
【分析】根据，设BC=2x，则AC=x， 再利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义求解即可。
3．如图，在△ABC中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点连接MN交AC于D，交AB于E，连接BD，若，则BC的长为（ ）．
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
设
∵DE垂直平分AB
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B．
【分析】利用三角比求出CD、BD数量关系，根据AC=14，求出CD、BD；根据勾股定理得出BC是7。
4．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=EC=，
∴BC=2，
∵，
∴ ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACD=∠B=30°，
故答案为：B．
【分析】先求出BC=2，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
5．如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∴，，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得，
∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
二、填空题
6．已知在中，，，，那么的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得：AB=9，
故答案为：9.
【分析】根据题意先求出，再根据BC=3计算求解即可。
7．如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
8．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，如图所示：
∵等腰，∠C=90°，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠BDE=90°-∠ABC=45°，
∴DE=BE，
∴，
设DE=BE=x，则AE=AB-x，
∴tan∠BAD=，
解得：x=，
∴DE=BE=2，
∴，
故答案为：2.
【分析】先求出，再设DE=BE=x，则AE=AB-x，结合tan∠BAD=，求出x的值，可得DE=BE=2，再求出即可.
三、解答题
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．
【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC==4，
sinA=.
【解析】【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦的定义，角的对边比上邻边，代入数据即可求解.
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