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湘教版九上2.3 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+1=0中，二次项系数a=2，一次项系数b=3，常数项c=1，
∴△=b2-4ac=32-4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出根的判别式的值，即可判断得出答案.
3．关于x的一元二次方程x2－4x＋2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有无实数根，无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△=42-4×1×2=8＞0，
∴关于x的一元二次方程x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
4．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝-8，解出其中一个根是x＝-1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
【答案】A
【解析】【解答】∵x＝-1为方程x2-8x-c＝0的根，
1+8-c＝0，解得c＝9，
∴原方程为x2－8x＋9＝0，
∵＝（-8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
二、填空题
6．方程的根的判别式的值是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵方程，a=2，b=-，c=1
∴
=4
故答案为：4．
【分析】已知方程是一元二次方程的一般形式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，再求出b2-4ac的值即可.
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=(-2)2-4m＞0，
解得m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案是：．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得出答案。
三、解答题
9．设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．
【答案】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b -4ac>0，即b >4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为
选③解方程，则这个方程为
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，选出②③组，然后直接利用公式法解一元二次方程即可.
10．有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，求这个三角形的周长.
【答案】解：由题意得：
①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程x2﹣4x+k＝0得：
，
解得：，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：，，
∴这个等腰三角形的三边长为3、3、1，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+3+1=7；
②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：，
∴这个等腰三角形的三边长为3、2、2，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+2+2=7；
故这个三角形的周长是7.
【解析】【分析】①当边长3是等腰三角形的腰长时，把x=3代入方程中求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长；②当边长3是等腰三角形的底边时，根据判别式为0求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.
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湘教版九上2.3 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．关于x的一元二次方程x2－4x＋2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有无实数根，无法判断
4．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝-8，解出其中一个根是x＝-1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
二、填空题
6．方程的根的判别式的值是 ．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
三、解答题
9．设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．
10．有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，求这个三角形的周长.
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