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湘教版九上2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为（ ）
A．3 B．1 C．－3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：设这个方程的另一个解为，
关于x的一元二次方程有一个解为，
，
解得，
即方程的另一个解为，
故答案为：A．
【分析】设这个方程的另一个解为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出a的值即可。
2．若方程的两个根，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数是1，一次项系数-2，
∴由韦达定理，得
x1+x2=2．
即2
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2，即a+b=2。
3．已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，
∴a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，
∴a+1+b+1=-3，（a+1）（b+1）=-3，
∴a+b=-5，ab=1，
∴a、b同号，a＜0，b＜0；
原式=.
故答案为：B
【分析】将方程转化为（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，可得到a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出a+b和ab的值，由此可得到a、b同号，a＜0，b＜0；再将代数式化简，然后整体代入求值.
4．若x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1+ x2的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，
∴x1+ x2=.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
5．如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由对称性可得函数l2的解析式为：，
令，整理得，k2x2 2k2x＋k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2 2k2x＋k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝，故A正确.
故答案为：A.
【分析】由对称性可得函数l2的解析式为，联立可得方程k2x2 2k2x＋k1＝0，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，则m和n是k2x2 2k2x＋k1＝0的两根，由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝，由点A是OB的中点可得2m＝n②，联立①②可求出m、n的值，从而求出结论.
二、填空题
6．若是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，
∴．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得答案。
7．α，β是方程x -2x-1=0的两根，则代数式α+β+αβ= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可知：α+β=2，αβ=-1，
则α+β+αβ=2+(-1)=1
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β=2，αβ=-1，再将其代入α+β+αβ计算即可。
8． 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值 ．
【答案】2037
【解析】【解答】∵，是方程的两个实数根，
∴m+n=2
∵
=+7m+2023
=7n+7m+2023
=7（m+n）+2023
=7×2+2023
=2037
【分析】本题考查根与一元二次方程的关系、韦达定理和在整体代入的思想。一元二次方程的根满足方程，代入后得出关于根的等式，变形后代入所求代数式中，再根据韦达定理（两根之和=，两根之积=）得出两根之和，代入所求代数式即可。
三、解答题
9．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，
（2）解：
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则，利用根与系数的关系求解即可；
（2）先通分，再把根与系数的关系式整体代入计算即可；
10．已知：关于x的方程x2+（8-4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：若方程有两个相等的实数根，
则有Δ＝b2-4ac＝（8-4m）2-16m2＝64-64m＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2+4x+4＝0，
∴x1＝x2＝-2；
（2）解：不存在．
假设存在，则有x12+x22＝136．
∵x1+x2＝4m-8，
x1x2＝4m2，
∴（x1+x2）2-2x1x2＝136．
即（4m-8）2-2×4m2＝136，
∴m2-8m-9＝0，
（m-9）（m+1）＝0，
∴m1＝9，m2＝-1．
∵Δ＝（8-4m）2-16m2＝64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1＝9，m2＝-1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
【解析】【分析】（1）由方程有两个相等的根，得 Δ＝0， 解得m的值，从而方程为x2+4x+4＝0，解方程即可.
（2）设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2＝4m-8， x1x2＝4m2，代入已知 x12+x22＝136，可解得m的值，把m的值代入方程检验Δ，即可求解.
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一、单选题
1．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为（ ）
A．3 B．1 C．－3 D．4
2．若方程的两个根，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3．已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
4．若x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1+ x2的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
5．如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．若是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则的值为 ．
7．α，β是方程x -2x-1=0的两根，则代数式α+β+αβ= ．
8． 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值 ．
三、解答题
9．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
10．已知：关于x的方程x2+（8-4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
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