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湘教版九上2.5 一元二次方程的应用
一、单选题
1． “一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年人均年收入20000元，到2022年人均年收入达到39200元，则该地区居民年人均收入平均增长率为（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．100(1+x)2=81 B．100 (1-x2)=81
C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81
3．某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为（ ）
A．32% B．34% C．36% D．38%
4．某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为，，，当草坪面积（图中阴影部分面积）等于时，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 ．
7．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，可列出方程 .
8．如图所示，在一个长为 60 m，宽为40 m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为 2 204 m2，那么道路的宽为 m.
三、解答题
9．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
10．有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
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湘教版九上2.5 一元二次方程的应用
一、单选题
1． “一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年人均年收入20000元，到2022年人均年收入达到39200元，则该地区居民年人均收入平均增长率为（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
【答案】A
【解析】【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为，
，
解得，，(舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为，
故答案为：A.
【分析】基本关系式：初量（1+增长率）2=末量，据此列一元二次方程求解．
2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．100(1+x)2=81 B．100 (1-x2)=81
C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81
【答案】D
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1-x）2=81．
故答案为：D．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意直接列出方程100（1-x）2=81即可。
3．某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为（ ）
A．32% B．34% C．36% D．38%
【答案】D
【解析】【解答】设一月份产值为，从三月份开始，每月的增长率为．由题意得，解得，（不合题意，舍去）．
故答案为：D．
【分析】设一月份产值为a，从三月份开始，每月的增长率为x，根据题意列出方程，再求解即可。
4．某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为，，，当草坪面积（图中阴影部分面积）等于时，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：12×3a+7.2×a-3a2=40.2，
解得：a=1或a=13.4（不符合题意，舍去），
a的值是1m.
故答案为：B.
【分析】根据草坪的面积是40.2m2列出方程，解方程并结合题意选取符合题意的值即可解答.
5．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
二、填空题
6．随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 ．
【答案】40%
【解析】【解答】解：设平均每次下降百分率为x，
由题意可得：200×（1-x）2=72．
解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不合题意，舍去）．
即某N95口罩平均每次降价的百分率是40%．
故答案为：40%．
【分析】设平均每次下降百分率为x，根据题意列出方程200×（1-x）2=72求解即可。
7．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，可列出方程 .
【答案】301（1+x）2=500
【解析】【解答】解： 第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，根据月平均增长率为， 可得 301（1+x）2=500
故答案为： 301（1+x）2=500
【分析】本题考查一元二次方程的应用---平均增长率：a (1+x)2=b。 (a 为起始量，b 为终止量，2为增长两次，x 为平均增长率）。
8．如图所示，在一个长为 60 m，宽为40 m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为 2 204 m2，那么道路的宽为 m.
【答案】2
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，
依题有：（60-x）(40-x)=2204，
，
解得：x=2或x=98（不符合题意，舍去），
道路的宽为2m.
故答案为：2.
【分析】设道路的宽为xm，将道路面积推移到矩形场地的两边，再根据绿化用地的面积列出方程解答即可.
三、解答题
9．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600，
整理得：x2﹣240x+10800＝0，
解得x＝60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x＝180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）解：设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵40×（1+80%）＝72，
x≤72，
∵﹣2＜0，
∴当x＝72时，W最大＝8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量，列一元二次方程，因式分解法解方程即可；
（2）根据 获利不得高于进价的80% 列代数式，求出售价的取值范围；
将二次函数化为顶点式，即可求出最值.
10．有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【解析】【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人，根据“ 经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 ”列出方程并解之即可.
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