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4.1 正弦和余弦
一、单选题
1．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在小正方形组成的网格中，的顶点都是格点（网格线的交点），则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
4．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接.若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
二、填空题
6．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
7．在中，，，，则的余切值为 ．
8．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为 .
三、解答题
9．如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
10．如图，在中，，，求的大小和的长．
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4.1 正弦和余弦
一、单选题
1．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4，
∴cos∠B= = ．
故选B．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的Rt△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
2．如图，在小正方形组成的网格中，的顶点都是格点（网格线的交点），则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
在中，，
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，直接根据正切函数的定义即可算出答案.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
【答案】C
【解析】【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9.
故答案为：C.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据垂直平分线的性质可得BD=DE=x，根据等腰三角形的性质可得BQ=CQ=4，根据三角函数的概念可得AQ=4y，易得AQ∥EM，结合E为AC的中点可得CM=QM=2，则EM=2y，DM=6-x，然后在Rt△EDM中，由勾股定理就可得到x与y的关系式.
4．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接.若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿AE折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故答案为： D.
【分析】连接BF，与AE相交于点G，根据折叠的性质可得BE=FE，BG=FG=BF，根据中点的概念可得BE=CE=3，利用勾股定理可得AE，根据三角函数的概念可得BG，由BF=2BG可得BF，根据等腰三角形的性质可得∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，则∠BFC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
5．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵AP=CQ，
∴CP=BQ，
∵PC=2AP，
∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴，，
∴CQ=3PD，
∴BQ=6PD，
∴BO=6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE=AC=4，
∵∠C=60°，
∴BE=4，
∴PE==1，
∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2=OP PB，
∴AP2=OP AQ.故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC
=120°+∠BAC
=180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，
在Rt△MAC中，AC=3，
∴MA=AC tan∠ACM=，CM=2AM=2，
∴MO′=MA=，
即CO的最小值为，故④正确.
综上：正确的有①③④.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，由已知条件可知AP=CQ，则CP=BQ，结合PC=2AP可得BQ=2CQ，过P作PD∥BC交AQ于D，易证△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD，则BQ=6PD，据此判断①；过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，进而判断②；利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，证明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性质可判断③；以AB为边作等边△NAB，连接CN，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边△NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.
二、填空题
6．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵点P在反比例函数的图象上
∴
故P点坐标为（12，5）
故OH=12，PH=5
在中满足勾股定理
∴
∴．
故答案为：．
【分析】先求出点P的坐标，可得OH和PH的长，再利用勾股定理求出OP的长，最后利用余弦的定义求解即可。
7．在中，，，，则的余切值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解 ：如图：
cot==.
故第1空答案为：
【分析】根据锐角三角函数的定义计算即可.
8．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠B=∠D=∠C=90°，
由折叠的性质得：AF=AD=5，EF=DE，
∴BF==4，
∴CF=BC-BF=5-4=1，
∵CF2+CE2=EF2，CE=CD-DE=3-DE，
∴12+（3-DE）2=DE2，
∴DE=，
∴.
【分析】根据进行的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠的性质得出AF=AD=5，EF=DE，根据勾股定理求出BF的长，从而求出CF的长，再根据勾股定理得出CF2+CE2=EF2，求出DE的长，利用锐角三角函数定义即可得出答案.
三、解答题
9．如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
【答案】解：∵∠B＝90°，
∴．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴．
∴BC的长为．
【解析】【分析】先根据余弦的定义求出AC的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。
10．如图，在中，，，求的大小和的长．
【答案】解：
；
，
；
答：，．
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B，再运用三角函数求出AC，也可根据含有30度角的直角三角形的性质求出AC。
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