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4.2 正切
一、单选题
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴的正弦值为
故答案为：D．
【分析】由正弦的定义可得。
2．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答.
3． 如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意可得：，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，再利用正切的定义求出即可。
4．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB·CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
是的中点，
，
，
，故①错误，
，
，
，
，
，
，，
，，
，故②③正确，
，
，
，
，故④正确，
综上所述，②③④正确，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质得到，进而根据锐角三角函数的定义即可得到，从而即可判断①；再根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，从而结合题意即可判定②和③；进而根据相似三角形的性质得到，从而根据相似三角形的判定即可判断④。
5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
在菱形中，
，，
，
，都是等边三角形，
①若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，最小，最小值；
②若以边为底，为顶角时，以点C为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧（除点B外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点P在上时，最小，如图所示，
连接交 于O，
为菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
最小值为；
③若以边为底，为顶角，以点B为圆心，为半径作圆，则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点P与点A重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，的最小值为；
故答案为：.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠C=60°，推出△ABD、△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点P与点D重合时，PA最小；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，连接AC交BD 于O，根据菱形的性质可得∠ABD=60°，AC=2AO，AC⊥BD，根据三角函数的概念可得AO，进而得到AC，由AP=AC-CP可得PA的最小值；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，据此解答.
二、填空题
6．比较大小：tan50° tan60°．
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵50°＜60°，
∴tan50°＜tan60°．
故答案为：＜.
【分析】角的正切函数随角的增大而增大，据此解答即可.
7．用计算器计算：sin35°= .(结果保留两个有效数字)
【答案】0.57
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入“35”，最后按键“=”；
故答案为0.57.
【分析】根据计算器的使用方法先按键“sin”，再输入“35”，最后按键“=”，即可求出结果.
8．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度是 （结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）.（参考数据：，）
【答案】1.66
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：，
∵在中， ，
∴
∵，即
∴.
故答案为：1.66.
【分析】画出示意图，由题意可得CE=AE=DF=6m，CD=EF=4.20m，由三角函数的概念可得BF，根据线段的和差关系可得AB=EF+BF-AE，据此计算.
三、解答题
9．如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点P的北偏东60°方向，轮船在A处与我海监船观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行，将会到达位于海监船观测点P的南偏东45°方向上的B处。我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点P的南偏东45°方向上，且与点P的距离为70海里处（可把岛屿看做一个点），如果此轮船有非法直接侵入钓鱼岛嫌疑，我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往B处是否遭到警告？
【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60
在Rt△APC中，cos∠APC=，
PC=PA·cos∠APC=30
在Rt△PCB中，
>70
答：没有遭到警告。
【解析】【分析】根据直角三角形的性质和三角函数的性质，可以直接求出PC和PB的值；
将PB的长与70作比较即可.
10．如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
【答案】解：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
解得：．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF ≌ △DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。
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4.2 正切
一、单选题
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
3． 如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB·CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
二、填空题
6．比较大小：tan50° tan60°．
7．用计算器计算：sin35°= .(结果保留两个有效数字)
8．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度是 （结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）.（参考数据：，）
三、解答题
9．如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点P的北偏东60°方向，轮船在A处与我海监船观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行，将会到达位于海监船观测点P的南偏东45°方向上的B处。我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点P的南偏东45°方向上，且与点P的距离为70海里处（可把岛屿看做一个点），如果此轮船有非法直接侵入钓鱼岛嫌疑，我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往B处是否遭到警告？
10．如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
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