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4.3 解直角三角形
一、单选题
1．在中，，若，，则的长是（ ）
A．80 B． C．60 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴，
∴在Rt△ABC中，AB==80，
故答案为：A．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
3．如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵MN是矩形ABCD的一条对称轴，
∴，，
∴∠AEF+∠MFE=180°，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴∠BFM=30°，
∴∠MFE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEB=60°，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用矩形和折叠的性质求出∠AEB=60°，再利用锐角三角函数求出即可。
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB= ，
∴∠B=60°，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案。
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH CD；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD =∠ADC =90°，∠DBC =45°，BC=CD.
∵△BPC是等边三角形，
∴PC=BC，∠BCP =∠PBC =∠BPH=60°.
∴PC=CD，∠PCD=30°.
∴∠PDC=75°.
∴∠FDP=15°.
∴∠BCH=180°-∠DBC -∠BCP =75°.
∵∠DHF=∠BCH=75°，
∴∠DHF=5∠FDP，故①错误；
∵∠PBD=∠PBC - ∠DBC=15°，
∴∠FDP=∠PBD.
∵AD∥BC，
∴∠DFP=∠BCP=60°.
∴∠DFP=∠BPH.
∴△DFP△BPH，故②正确；
∵∠PDC=∠DHF，∠DPH=∠CPD，
∴△DPH△CPD.
∴
∴PD2= PH·PC= PH·CD，故③正确；
如图，作PM⊥CD，PN⊥BC.
设正方形的边长为a.
根据题意可知，PN=PB·sin60°=a，PM=PC·sin30°=a.
∴
∴，故④错误.
综上所述，正确的是②③，有2个，
故答案为：B．
【分析】 ① 首先根据正方形和等边三角形的性质求出∠PDC和∠FDP，然后根据三角形内角和定理求出∠BCH，进而可判断①错误； ② 根据∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPH可判断②正确；③先判断△DPH△CPD，然后根据相似三角形的性质即可判断③正确；④设正方形的边长为a，然后分别用a表示出和S正方形ABCD即可判断④错误．
二、填空题
6．在中，，，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
7．在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanA==2，
∴BC=2AC=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】先求出tanA==2，再计算求解即可。
8．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
【分析】设，则BC=t，AB=BD=t，再求出DC的长，即可得到。
三、解答题
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
。求BC的长及∠A的正切值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【解析】【分析】结合正弦的定义，利用∠B的正弦值求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC，结合正切的定义即可求解.
10．如图，在中，，点在边上，，，，求的长．
【答案】解：设，，，
在中，，，，解得，
．
【解析】【分析】根据题意可得，△ADC为等腰直角三角形，即AC=DC，设出AC的长度，根据锐角三角函数的定义求出答案即可。
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4.3 解直角三角形
一、单选题
1．在中，，若，，则的长是（ ）
A．80 B． C．60 D．
2．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH CD；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．在中，，，，则 ．
7．在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ．
8．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是 ．
三、解答题
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
。求BC的长及∠A的正切值．
10．如图，在中，，点在边上，，，，求的长．
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