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1.2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1． 已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．点 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，直线y= 2x+8与双曲线相交于点(m，n)，则的值等于（ ）
A．-2 B．2 C．－4 D．4
4．如果关于反比例函数（k是常数，），在每一个象限内，y随x的增大而减小，那么一次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
5．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
7．反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
8．如图，已知A为反比例函数y＝(x＜0)图像上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为1，则k的值为 ．
三、解答题
9．如图是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点 A 的纵坐标为 80，另一端点 B 的坐标为B (80，10).求这段图像的函数表达式和自变量的取值范围。
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别相交于A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
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一、单选题
1． 已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：B.
【分析】 将点、、代入中，可得，继而得解.
2．点 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵k=π>0，
∴当x>0时，y>0，当x<0时，y<0，
∴y1<0，y2<0，y3＞0，
∵k>0，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴y1>y2，
∴ .
故答案为：D.
【分析】首先判断出k>0，然后根据当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；先判断出y1<0，y2<0，y3＞0，再判断出y1>y2，则可得出结论.
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3．已知，直线y= 2x+8与双曲线相交于点(m，n)，则的值等于（ ）
A．-2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+8与双曲线y=-（x＞0）交于点M（m，n），
∴n=-2m+8，n=-，
∴2m+n=8，mn=-4，
∴，
故答案为：A．
【分析】将点（m，n）代入一次函数和反比例函数可得n=-2m+8，n=-，再将其代入计算即可。
4．如果关于反比例函数（k是常数，），在每一个象限内，y随x的增大而减小，那么一次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数（k是常数，）在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
又∵b＝﹣2＜0，
∴y＝kx﹣2图象经过第一，三，四象限．
故答案为：B．
【分析】 在每一个象限内，y随x的增大而减小 ，根据反比例函数的性质可得k＞0， 一次函数的 b<0，所以图象经过第第一，三，四象限.
5．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
①，②，
①②得③，
把③代入①整理得，解得（舍去），，
当时，，
，
把代入得．
∴，
故答案为：D．
【分析】利用A、B、C的坐标及勾股定理求出，由旋转的性质可得，，，在中，利用勾股定理求出OA'，即得A’（0，8），设，可得①，②，联立①②可求出a、b值，即得C'坐标，将其代入中即可求出k值.
二、填空题
6．写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵反比例函数图象位于第二、第四象限，
∴k＜0，
反比例函数解析式可以为；
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数的性质可知k＜0，写出一个k＜0的反比例函数解析式即可.
7．反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得a+3＜0，
∴
故答案为：
【分析】根据反比例函数的图象结合题意即可得到a+3＜0，进而即可求解。
8．如图，已知A为反比例函数y＝(x＜0)图像上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为1，则k的值为 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|＝1，
而k＜0，
∴k＝ 2．
故答案为 2．
【分析】根据题意先求出S△OAB＝|k|＝1，再根据k＜0，求解即可。
三、解答题
9．如图是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点 A 的纵坐标为 80，另一端点 B 的坐标为B (80，10).求这段图像的函数表达式和自变量的取值范围。
【答案】解：设这段函数的解析式为：，
∵点 B (80，10) 在该函数的图象上，
∴k=80×10=800，
∴所求的函数解析式为，
将y=80代入得x=10，
∴该函数自变量的取值范围为：10≤x≤80.
【解析】【分析】首先利用待定系数法求出该函数的解析式，进而将y=80代入算出对应的自变量x的值，可得点A的横坐标，从而结合点B的横坐标可求出自变量x的取值范围.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别相交于A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）解：，点的坐标为
则，解得：
直线的解析式为
点在直线上，点的横坐标为2
点的纵坐标为
点的坐标为
（2）解：设点的坐标为，则点的坐标为
，
当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形
直线与轴交于点，
，
，
当时，，（舍去），
此时，点的坐标为，
当时，，（舍去），
此时，点的坐标为，
综上所述：以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，
点的坐标为或
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入直线l的解析式y=kx+2计算可求得k的值；同理把点C的横坐标代入求得的直线l的解析式计算可求得点C的纵坐标，再把求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求得m的值；
（2）根据点D在直线l上可设点D的坐标为（n，2n+2），点E在反比例函数图象上可设E（n，），则DE可用含n的代数式表示出来，根据平行四边形的对边相等可得关于n的方程，解方程求出n的值，即可求得点D的坐标.
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