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2.3 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程（x-2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
2．方程kx2+3x＝x2+5是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠﹣1 C．k≠1 D．k≠±1
3．若使得关于x的方程有实数根，则k的值不可能的是（ ）
A． B．0 C．2 D．
4．已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+(k－1)=0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D．
5．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．若一元二次方程无实数根，则a的取值范围是 ．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
8．定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则 ．
三、解答题
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解．
10．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）当n取最大值时，求方程的根．
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2.3 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程（x-2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
【答案】A
【解析】【解答】 解：∵（x-2）2+m=0，
∴（x-2）2=-m，
∵方程有实数解，
∴-m≥0，
解得m≤0，
即m的取值范围为m≤0．
故选：A．
【分析】 先把方程变形为（x-2）2=-m，利用平方的意义得到-m≥0，然后解不等式即可．
2．方程kx2+3x＝x2+5是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠﹣1 C．k≠1 D．k≠±1
【答案】C
【解析】【解答】解：将方程整理kx2+3x＝x2+5得，
∵是关于x的一元二次方程，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义可得，再求出k的取值范围即可。
3．若使得关于x的方程有实数根，则k的值不可能的是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】∵方程有实数根，∴，即4-4k≥0，∴k≤1，∴A、B、D均符合题意，C不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别，当 Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.
4．已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+(k－1)=0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程kx2+(2k+1)x+(k－1)=0有实数根 ，
当k=0时，此方程是一元一次方程，此方程有实数根；
当k≠0时，b2-4ac≥0
∴(2k+1)2-4k（k-1）≥0
解之：
∴k的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：当k=0时，此方程是一元一次方程，此方程有实数根；当k≠0时，b2-4ac≥0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集，可得到k的取值范围.
5．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据所给的定义，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题
6．若一元二次方程无实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程x +2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22 -4×1×m>0，
解得： m<1，
故答案为： m<1.
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式 Δ =b2-4ac有如下关系：①Δ >0，方程有两个不相等的实数根，②Δ =0，方程有两个相等的实数根，③Δ <0，方程没有实数根.根据题意得出 Δ =22 -4×1×m>0，解不等式即可.
8．定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵是“凤凰”方程，
∴，即，
∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：-2
【分析】根据“凤凰”方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列出方程求出m的值即可。
三、解答题
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解．
【答案】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，
解得a≤2且a≠1，
∴a的非负整数解为2和0．
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
10．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）当n取最大值时，求方程的根．
【答案】（1）解：，
由“关于x的一元二次方程有实数根”得：
，即：，
解得：．
又∵，
∴n的取值范围是且．
（2）解：由且得：n的最大值为1，
把代入原方程得：
化简得：，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根求出 ， 再根据n≠0计算求解即可；
（2）根据（1）所求求出 n的最大值为1， 再将n=1代入方程求出 ， 最后解方程即可。
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