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2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．若方程 的两根分别为 x ，x ，则x +x 等于 （ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
2．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．6
3．下列关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）
①若a﹣b+c＝0则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，则2a﹣c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有实根
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中，错误的是（ ）
A．方程是“2倍根方程”
B．若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”，则m+n=0
C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”
D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程是“2倍根方程”
5．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知x＝1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
7．已知，分别是一元二次方程的两个实数根，则 ．
8．若关于x的一元二次方程有一个实数根是2．则另一个根是 ．
三、解答题
9．设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
10．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设，是方程的两个根，且，求m的值．
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2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．若方程 的两根分别为 x ，x ，则x +x 等于 （ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2x2+6x-1=0中a=2，b=6，c=-1，
∴.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=可得答案.
2．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是m，
∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，
∴3+m＝5，
解得，m＝2，
∴这个方程的另一个根是2
故答案为：B．
【分析】设方程的另一个根是m，由根与系数的关系（），列出关于另一根m的方程，解方程即可.
3．下列关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）
①若a﹣b+c＝0则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，则2a﹣c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有实根
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】【解答】解：a﹣b+c＝0，则b＝a+c，△＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，
∴1×2＝ ，则c＝2a，
∴2a﹣c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个实根，所以③正确.
故答案为：A.
【分析】根据a-b+c＝0可得b＝a+c，然后根据△＝b2-4ac可判断①；根据根与系数的关系可得1×2＝ ，则c＝2a，据此判断②；根据方程ax2+c＝0有两个不相等的实根可得ac＜0，则Δ＝b2-4ac＞0，据此判断③.
4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中，错误的是（ ）
A．方程是“2倍根方程”
B．若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”，则m+n=0
C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”
D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程是“2倍根方程”
【答案】B
【解析】【解答】解：A 解x2-3x+2=0得x1=1，x2=2，故A项正确，不符合题意；
B 解 (x-2)(mx+n)=0得x1=2，x2=，当=2×2，则4m+n=0；当×2=2，则m+n=0，故B项错误，符合题意；
C 解方程得 x1=2，x2=，而m+n=0，则x2=1，故C项正确，不符合题意；
D 解方程 得x1=n，x2=-m，而2m+n=0，∴ n=-2m，即x1=-2m=2x2，故D项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】通过解一元二次方程，即可判断A；通过解方程得x1=2，x2=，分情况讨论当当=2×2和当×2=2得4m+n=0或m+n=0，即可判断B；解方程得x1=2，x2=，再根据m+n=0，可得x2=1，即可判断C；解方程可得x1=n，x2=-m，再根据2m+n=0可得n=-2m，即可判断D.
5．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
二、填空题
6．已知x＝1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】x=-5
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x，
根据一元二次方程根与系数关系得，1·x=－5，即x=－5，
故答案为：x=－5．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得1·x=－5，再求出x=－5即可。
7．已知，分别是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-x-6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-1，
又∵x1，x2分别是一元二次方程x2-x-6=0的两个实数根，
∴.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程x2-x-6=0的根与系数的关系（a是二次项系数、b是一次项系数）来求解即可.
8．若关于x的一元二次方程有一个实数根是2．则另一个根是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设另一个根为，
由韦达定理有：，
即，
解得，
故另一个根是-4.
故答案为：-4.
【分析】根据韦达定理：，代入相关数值即可求得另一个根的值.
三、解答题
9．设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
10．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设，是方程的两个根，且，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）首先求出 关于x的一元二次方程的根的判别式为，然后根据偶次方的非负性，判定＞0，即可得出 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据方程的解的意义得出 ， 根据根与系数的关系得出 ， 根据 ， 即可得出 ， 解方程，得 ．
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