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2.5 一元二次方程的应用
一、单选题
1．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
4．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．(22＋x－15)(40－3x)＝156 B．(x－15)[40－3(x－22)]＝156
C．(22＋x)(40－3x)＝156 D．(22＋x)(40－3x)－15×40＝156
5．将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
二、填空题
6．已知为方程的一个根，则代数式 ．
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
8．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 ．
三、解答题
9． 随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车32辆，3月份销售了50辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五人）
10．某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．
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2.5 一元二次方程的应用
一、单选题
1．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设人均年收入的平均增长率为x，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据“ 前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元 ”直接列出方程即可.
2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】【解答】解：假设这次会议到会人数为x人，
根据题意， 每两个参加会议的人都相互握了一次手 ，一共握了66次，
可得，解得x=12.
故答案为：D.
【分析】根据题意设未知数，找到等量关系，列一元二次方程，解方程即可.
3．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
4．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．(22＋x－15)(40－3x)＝156 B．(x－15)[40－3(x－22)]＝156
C．(22＋x)(40－3x)＝156 D．(22＋x)(40－3x)－15×40＝156
【答案】A
【解析】【解答】根据题意知，每件商品的利润为元，销售量为件，
则可列方程为，
故答案为：A．
【分析】基本关系：总利润=每个利润 × 数量，每个利润=售价-成本，据此列方程求解即可．
5．将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，
∴2BC=2CD，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；
由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，最小值为4×2=8；
当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，
设边长为x，由勾股定理可得：22+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴菱形ABCD的周长最大值为×4=17，
∴ 四边形的周长的最大值与最小值的差为17-8=9；故结论Ⅱ正确；
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，易证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，可得BC=CD，即证四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，求出此时最小值，当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，求出此时最大值，再求出周长的最大值与最小值的差即可判断结论Ⅱ.
二、填空题
6．已知为方程的一个根，则代数式 ．
【答案】
【解析】【解答】∵a是方程
∴
∴
∴6a-2a2+2023
=-2(a2-3a)+2023
=-2×6+2023
=2011
故答案为：2011.
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=6，再把6a-2a2+2023变形为-2(a2-3a)+2023，然后利用整式代入的方法计算。
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程．
8．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 ．
【答案】10%
【解析】【解答】解：设平均每月利润的增长率是x，则由题意得：
解方程得：，（舍去）
即设平均每月利润的增长率是10%．
故答案为：10%．
【分析】根据 某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元， 列方程求解即可。
三、解答题
9． 随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车32辆，3月份销售了50辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五人）
【答案】（1）解：设1月到3月销量的月平均增长率为，根据题意列方程：
，
解得（不合题意，舍去），，
即；答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为；
（2）解：.
即售出62辆新能源汽车答：该商城4月份卖出62辆自行车.
【解析】【分析】（1）设1月到3月销量的月平均增长率为， 根据3月份的销售量=（1月份的销售量+x）2，列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（2）根据4月份的销售量=3月份的销售量（1+增长率），即可求解.
10．某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．
【答案】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据题意，得
解得 （不合题意，舍去）
答：2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%．
【解析】【分析】 设2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率为x ，根据2020年的人均收入×（1+平均增长率）2= 2022年的人均收入 ，列出方程并解之即可.
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