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3.4 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．如图，在ABCD中，点E在CD上，EC：DC=1：3，连接AE交BD于点F．则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交于点F，∶＝4∶25，则为（ ）
A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．4∶25
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在y轴和x轴上，已知对角线．．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=-2x+4交y轴于点A，若l1关于y轴的对称直线为l2，直线l2的有一个点M ，当M 点到直线l1的距离小于 ，则点M 的横坐标m取值范围是（ ）
A．-2C．-1.5二、填空题
6．
（1）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C= 度，∠E= 度．
（2）如图，AB与CD相交于点O．若△AOC∽△BOD，则它们的相似比为 ，AC= ，OB= ．
7．如图，在ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，BPQ与BAC相似．
8．如图，已知，在中，，点D是上的一点，，，那么的值为 .
三、解答题
9．如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
10．如图所示，在四边形ABCD中， ，点E是对角线BD上一点， ，求证 ．
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3.4 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．如图，在ABCD中，点E在CD上，EC：DC=1：3，连接AE交BD于点F．则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
CD∥AB
∵EC：DC=1：3
∴DE：DC=2：3
∴DE：AB=2：4
∴
故答案为：D
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形周长之比等于相似比即可求出答案.
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交于点F，∶＝4∶25，则为（ ）
A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．4∶25
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD
∴△AEF∽△CDF
∴
∵△AEF和△CDF的面积之比为4 ： 25
∴AF：CF=2：5，
故答案为：A
【分析】先证明△AEF∽△CDF可得，再结合∶＝4∶25，可得AF：CF=2：5。
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故答案为：D．
【分析】作OG//CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例的的性质可得BG=CG，再根据菱形的性质可得OB=OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CF//GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长。
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在y轴和x轴上，已知对角线．．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作交OB于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故答案为：D
【分析】作交OB于点G，先证出，可得，即，解得，再结合，可得，最后求出即可。
5．在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=-2x+4交y轴于点A，若l1关于y轴的对称直线为l2，直线l2的有一个点M ，当M 点到直线l1的距离小于 ，则点M 的横坐标m取值范围是（ ）
A．-2C．-1.5【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，
∴MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD
∴
∵直线l1：y=-2x+4，
当x=0时y=4，当y=0时x=2，
∴点A（0，4），点C（2，0）
∵ l1关于y轴的对称直线为l2，
∴直线l2：y=2x+4；
∴点B（-2，0）
∴BC=4，AO=4，
AB=AC=
∴
∴
解之：
设点M（m，2m+4），
∵ M 点到直线l1的距离小于
∴取MN的极值为
∴即
解之：m=±1.25
点M和点M′的横坐标互为相反数，
∴m的取值范围为-1.25故答案为：D.
【分析】如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，可证得MN∥BD，由此可证得△AMN∽△ABD，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，再利用函数解析式求出点A，C的坐标；由 l1关于y轴的对称直线为l2， 可得到l2的解析式，即可求出点B的坐标，再利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的面积公式求出BD的长，设点M（m，2m+4），利用平面直角坐标系中的两点间的距离公式可求出AM的长，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值；然后利用点M和点M′的横坐标互为相反数，可得到m的取值范围.
二、填空题
6．
（1）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C= 度，∠E= 度．
（2）如图，AB与CD相交于点O．若△AOC∽△BOD，则它们的相似比为 ，AC= ，OB= ．
【答案】（1）50；60
（2）；40；50
【解析】【解答】解：（1） ∵△ABC∽△DEF，∠F=50°，∠B=60°，
∴∠C=∠F=50°，∠E=∠B=60°，
故答案为：50，60.
（2） ∵△AOC∽△BOD ，OC=20，OD=40，
∴，
∵BD=80，OA=25，
∴AC=40，BO=50，
故答案为：40，50，
【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例分别求解即可.
7．如图，在ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，BPQ与BAC相似．
【答案】1.5或6
【解析】【解答】解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，
∴BP＝3．
当△BPQ∽△BAC时，
则
故
解得：；
当△BPQ∽△BCA时，
则，
故，
解得．
故答案为：1.5或6．
【分析】分两种情况：当△BPQ∽△BAC时，当△BPQ∽△BCA时，再利用相似三角形的性质求解即可。
8．如图，已知，在中，，点D是上的一点，，，那么的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
设，则，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据两角相等证明，通过相似三角形的性质即可解答。
三、解答题
9．如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°
∴∠ACD=∠BCD=40°
∵△ABC∽△ACD
∴∠ABC=∠ACD=40°
∴∠ADC=80°
（2）解：∵CD=2，BD=3
∴AB=5
∵△ABC∽△ACD
∴
∴，
【解析】【分析】（1）首先根据△ABC∽△ACD和CD平分∠ACB得出∠B和∠BCD的度数，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和即可求出∠ADC的度数.
（2）先算出AB的长，由△ABC∽△ACD可得出，再把AB和AD的长代入求值即可.
10．如图所示，在四边形ABCD中， ，点E是对角线BD上一点， ，求证 ．
【答案】【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，
∵∠AEB=∠ADC，∠AEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠C，
∴△ADE∽△DBC.
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠ADB=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，利用邻补角的定义可证得∠AEB+∠AED=180°，利用等角的补角相等，可证得∠AED=∠C；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
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