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3.5相似三角形的应用
一、单选题
1．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
2．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
3．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm
4．《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图所示，四边形是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点.从北门出去正北方向20步远的处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见处的树木.正方形小城的边长为（ ）
A．105步 B．200步 C．250步 D．305步
5．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题
6．如图，道旁树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯O离地8m，树影长4m，树与路灯O的水平距离为6m，则树的高是 m．
7．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为 米.
8．如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度的长为 米．
三、解答题
9．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
10．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB．
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3.5相似三角形的应用
一、单选题
1．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则 ，
∴x＝5.1m.
故答案为：B.
【分析】由题意易得三角形相似，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
2．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】D
【解析】【解答】根据题意可得：△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，BC=1，EF=6，
∴，
解得：DE=12，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
3．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形EFGH，AD是高，
∴EH∥BC，EH⊥AD，∠EFD=∠FEM=∠ADF=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=MD，
∴EH=2EF=2MD，
设DM=x，则EH=2x，AM=90-x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴即，
解之：x=36，
∴EH=2×36=72mm.
故答案为：D
【分析】利用矩形的性质及三角形高的定义可证得EH∥BC，EH⊥AD，∠EFD=∠FEM=∠ADF=90°，可证得四边形EFDM是矩形，利用矩形的性质可推出EH=2EF=2MD；设DM=x，则EH=2x，AM=90-x，利用EH∥BC，可推出△AEH∽△ABC，利用相似三角形的对应边上的高之比等于对应边之比，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出EH.
4．《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图所示，四边形是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点.从北门出去正北方向20步远的处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见处的树木.正方形小城的边长为（ ）
A．105步 B．200步 C．250步 D．305步
【答案】C
【解析】【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，
，
∴，即，
去分母并整理，得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去），
经检验，x=250是原方程的解，
∴小城的边长为250步．
故答案为：C。
【分析】找到，根据对应边成比例建立方程求解。
5．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
二、填空题
6．如图，道旁树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯O离地8m，树影长4m，树与路灯O的水平距离为6m，则树的高是 m．
【答案】3.2
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∴，
∴AB=3.2（m），
故答案为：3.2．
【分析】先证明△CAB∽△CPO，可得，再将数据代入可得，最后求出AB的长即可。
7．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为 米.
【答案】6
【解析】【解答】解：如图：
∵△ACD∽△ABE
∴
∴EB=4DC=1.5×4=6米
故答案为：6.
【分析】对图形进行点标注，易证△ACD∽△ABE，然后根据相似三角形的性质进行求解.
8．如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度的长为 米．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵△GCD∽△ABD，△HEF∽△ABF，
∴，，
∴，
∴，
∴BC=2.5，
∴BD=3.5，
∴，
∴AB=米.
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质得出，，从而得出，求出BC的长，得出BD的长，再代入，即可得出AB的长.
三、解答题
9．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，
∴DE＝1.5CD＝3，
∵，
∴AB＝＝16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
【解析】【分析】根据比例关系得DE＝1.5CD＝3，然后再利用，计算求解即可.
10．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB．
【答案】解：由题意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴，
∴AB＝70，
∴该瞭望塔的高度AB为70m．
【解析】【分析】先根据题意得到∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，进而得到∠ABC＝∠CDE＝90°，再运用相似三角的判定与性质结合题意即可求解。
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