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3.6 位似
一、单选题
1．下列图形中，不属于位似图形的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，位似比为1：2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，若 与 是位似图形，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
6．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝ ．
7．如图，线段AB的两个端点坐标分别为，．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若，则端点D的坐标为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A (-1，2)、B(0，2)，C、D两点的坐标分别为C (0，-1)、D (-2，-1)．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为
三、解答题
9．如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
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3.6 位似
一、单选题
1．下列图形中，不属于位似图形的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、属于位似图形，故此选项不符合题意；
B、属于位似图形，故此选项不符合题意；
C、属于位似图形，故此选项不符合题意；
D、不属于位似图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】位似的两个图形，不仅仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边平行，据此逐项判断得出答案.
2．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，位似比为1：2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，
∴2（a-1）=-x+1，
解得：x=-2a+3，
故答案为：C．
【分析】设点B′的横坐标为x，再根据位似图形的性质可得2（a-1）=-x+1，再求解即可得到答案。
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，若 与 是位似图形，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 点A的坐标为 （1，0） ，点D的坐标为 （3，0） ，
， ，即 ，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】由A、D的坐标，可得OA=1，OD=3，由位似图形的性质得AC∥DF，可证△OAC∽△ODF，利用相似三角形的性质可得结论.
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴EH∥AD，
∴△OEH∽△OAD，
∴.
故答案为：A
【分析】利用，利用比例的性质可求出OE与AO的比值，再利用位似的性质，可证得EH∥AD，可推出△OEH∽△OAD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EH与AD的比值.
5．如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥OB于点H，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°
∴OH=3，
∴A的坐标为（ ， ）
∴反比例函数表达式为
①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE=OA=6，
∴A、E关于原点对称，
∴点E在反比例函数图象上，①符合题意．
②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在y轴上（0，6），此时，点B恰好落在（ ， ），
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（ ， ）处，在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在（- ，- ），
∵
∴A的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在y轴上（0，-6），此时，点B恰好落在（- ，- ）处，
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（- ，- ）处，在反比例函数图象上；
∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上，②符合题意．
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为（- ，- ），在反比例函数图象上，③符合题意．
④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，④符合题意．
故答案为：D
【分析】过点A作AH⊥OB于点H，由等边三角形的性质及勾股定理可求出A（ ， ），即得反比例函数，①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，可得A、E关于原点对称，故正确；②分别求出△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°的A、B的对应点坐标，再判断即可；③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，据此即可判断；④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，据此即可判断.
二、填空题
6．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
7．如图，线段AB的两个端点坐标分别为，．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若，则端点D的坐标为 ．
【答案】（1，1）
【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为、
∴AB＝2，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，DE＝1，
∴两图形的位似比为
∴端点D的坐标为：（1，1）
故答案为：（1，1）
【分析】先求出AB＝2，再求出两图形的位似比为，最后求点的坐标即可。
8．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A (-1，2)、B(0，2)，C、D两点的坐标分别为C (0，-1)、D (-2，-1)．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为
【答案】(0，1)
【解析】【解答】连接AD交BC于E，则点E为位似中心，
∵A（-1，2）、B（0，2），C（0，-1）、D（2，-1）．
∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∵线段AB和CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴，即
解得BE＝1，
∴OE＝OB-BE＝1，
∴位似中心点E的坐标为（0，1），
【分析】连接AD交BC于E，根据坐标与图形性质分别求出AB、CD、BC，根据平行线的性质列出比例式，求出BE，进而求出OE，得到答案．
三、解答题
9．如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
【答案】（1）解：如图所示，△DCE即为所求
（2）解：如图所示，点P即为所求
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案.
（2）根据线段三等分点的性质即可求出答案.
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