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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第二章
课标要求 了解一元二次方程的概念。能灵活运用直接开平方、配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程。会根据根的判别式判断一元二次方程解的情况。知道一元二次方程根与系数的关系，并运用它来解决实际问题。能运用一元二次方程的知识来解决实际问题。
内容分析 一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学占有重要地位，通过对一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又为以后学习可化为一元二次方程的高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外学习一元二次方程对于其他学科有重要的意义。本章总体设计思路：问题情境---建立模型--拓展运用。首先通过情境问题建立有关方程，并归纳一元二次方程的概念，然后探索其解法，并在实际情境中加以运用，切实提高学生的运用能力和运用意识。
学情分析 本章知识面对初三学生，他们思维活跃，模仿能力强。已经开始占主导地位的抽象的逻辑思维逐步向经验性、理论性转化，观察、想象、记忆能力迅速发展，能超出直接的感知事物提出提出假设和进行推理、论证，很大程度上需要感性经验的支持。一元二次方程是刻画数量关系最重要的模式，一元二次方程的解法和实际运用，是初中阶段的核心内容，前面学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、平方根、因式分解等知识，对于解方程的基本思路比较熟悉，按照这种思路学习一元二次方程的解法。本章还要讨论根有关的几个问题（根的判别式、根与系数的关系）。在此基础上学习利用一元二次方程模式解决简单的实际问题。本章学习内容也为后续学习二次函数打下基础。
单元目标 （一）教学目标知识与技能：能够运用一元二次方程解决实际问题，能够根据具体问题检验结果的合理性，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力。了解一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。经历在具体情境中估算一元二次方程解得过程，发展估算意识和能力。会不解方程过程根的判别式判断一元二次方程解的情况，了解根与系数关系。过程与方法经历有具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系最有效的数学模型。情感态度与价值观能用一元二次方程解决实际问题，在解决问题的过程中体会数学的运用价值，教学重点、难点重点；运用知识、技能解决实际问题。难点：解题分析能力的提高。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识一元二次方程12用配方法解一元二次方程13用公式法解一元二次方程14用因式分解法解一元二次方程15一元二次方程根与系数的关系16运用用一元二次方程（1）17运用用一元二次方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识一元二次方程1.在具体问题中，通过观察、抽象，归纳出一元二次方程的概念，从中体会方程的模型思想；2.能判断一个方程是否为一元二次方程，并能理解一元二次方程的相关概念.1、学生回顾旧知。2、对问题1、2、3进行小组合作探究，列出方程并化简成一般形式。3、根据一元一次方程的概念类比出一元二次方程的定义，认识二次项、一次项、常数项及它们的系数。4、自学例题1、2，重点是根据多项式乘多项式的计算把方程化简成一般形式。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程的定义。环节3：典例精析。用配方法解一元二次方程1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.1、回顾旧知。2、探究用直接开平方求一元二次方程的解.3、探究用配方法解一元二次方程。4、解决前节课梯子底部滑动问题。5、运用知识解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究用配方法解一元二次方程。环节3：典例精析。用公式法解一元二次方程1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用公式法解一元二次方程；3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.1、回顾知识。2、用配方法解一元二次方程。3、用配方法推导一元二次方程的求根公式。4、讨论与0的关系。5、用判别式与根的情况解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程求根公式的推导。环节3：典例精析用因式分解法解一元二次方程能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法2、经历探索用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，体会转化、降次的思想。体会解决问题方法的多样性。3、培养学生探索精神、分析问题并解决问题的能力；培养学生的合作交流能力。1、知识回顾。2、讨论三种方法的解一元二次方程的优劣，3、生成因式分解法解一元二次方程的方法、根据和步骤。4、用因式分解法解一元二次方程。5、师生共同完成例题的学习，提高学生的综合运用能力。环节一：回顾旧知。环节二：探究因式分解法解一元二次方程。环节3：典例精析一元二次方程根与系数的关系1）理解并掌握根与系数的关系：（2）能运用根与系数的关系：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．（3）经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力.1、学生回答所提4个问题。2、填写表格。3、利用求根公式验证猜想的正确性。4、利用韦达定理直接说出两根之和及两根之积。5、通过例题1前3个问题的学习，模仿代入思路完成其他4个练习。6、利用韦达定理已知一根求另一个根及未知系数。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程根与系数的关系。环节3：典例精析用一元二次方程解决实际问题(1)知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。复习梯子下滑问题。学生先独立思考，写出解题步骤，再小组讨论，得到不同的解题方法。完成问题1、2、3、4.3、教师指导学习例题1.4、小组讨论完成例题2.环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决面积问题环节三：运用一元二次方程解决线段长度问题用一元二次方程解决实际问题(2)1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。 2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。 3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。1、回顾列方程解应用题的一般步骤。回顾成本价、进货价、标价、定价、销售价、成交价的联系与区别。2、完成填空题。3、完成表格的填写。4、列出方程并求出方程的解。5、小组讨论，由于设未知数不同列出的方程也不相同。回顾增长率的有关问题。6、小组合作完成问题1的探究，7、独立完成跟踪练习。环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决利润问题环节三：运用一元二次方程解决增长率问题回顾与思考1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．1、学生回顾本章内容，整理出本章的架构，理清各板块内容间的联系.2、学生对一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、根的判别式、一元二次方程的运用、根与系数的关系（韦达定理）知识梳理。3、一边梳理知识一边进行正对性练习，做到讲练结合。环节一：知识架构。环节二：知识梳理。
《一元二次方程》单元教学设计
活动一：回顾知识
活动二：探究一元二次方程的定义
任务一：认识一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务二：用配方法解一元二次方程
活动二：探究用配方法解一元二次方程
一
元
二
次
方
程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：用公式法解一元二次方程
活动二：探究一元二次方程求根公式
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究因式分解法求解一元二次方程
任务四：用因式分解法解一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
任务五：一元二次方程根与系数的关系
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究用一元二次方程解答面积问题
任务六：用一元二次方程解决实际问题(1)
一
元
二
次
方
程
活动三：探究用一元二次方程解答线段长度问题
活动一：知识回顾
任务七：用一元二次方程解决实际问题(2)
活动二：探究用一元二次方程解答利润问题
活动三：探究用一元二次方程解答增长率问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
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分课时教学设计
第一课时《用公式法解一元二次方程》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.
教学目标 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2、会用公式法解一元二次方程； 3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力； 4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
教学重点 理解一元二次方程求根公式的推导过程及每一步的依据。用公式法熟练的解一元二次方程。
教学难点 经历一元二次方程求根公式的推导过程，解的过程中的有关根式的化简。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 用配方法解一元二次方程的方法的知识储备。 平方根的意义：如果 完全平方式：式子叫完全平方 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用配方法解方程 2x-9x+8=0 学生活动1： 回顾知识。 用配方法解二元一次方程活动意图说明： 通过知识回顾，配方法解二元一次方程学生再次回忆用配方法解一元二次方程的步骤。 环节二：探究新知教师活动2： 用配方法解一般形式的一元二次方程： 解：把方程两边都除以a得： 移项得 配方得： ，∴4a>0 b-4ac≥0 x+=±∴x= 对于当≥0方程的根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例 解方程 x-7x-18=0 解：已知a=1，b=-7，c=-18. ∵b-4ac=(-7)-4×1×(-18)=121>0 ∴x== （2）4x+1=4x 解：将原方程化为一般形式，得4x-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. ∵b-4ac=(-4)-4×4×1=0 x+6=2(x+1)； 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. a＝1，b＝－2，c＝4， b－4ac＝－12<0， 方程无实数根． (4)5x-2x+1=0 解：a=5,b=2,c=1 b-4ac=0 方程有两个相等的实数根， 归纳总结： 把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。 2、求出 b-4ac 的值， 3、代入求根公式: 4、写出方程的解：x,x 一元二次方程的根的情况 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b-4ac. (1)Δ>0 方程有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 方程有两个相等的实数根. (3)Δ<0 方程没有实数根.学生活动2： 用配方法推导二元一次方程的求根公式。 讨论与0的关系 活动意图说明： 引导学生用配方法自主探索一元二次方程的求根公式的推导过程。弄清推导过程中每一步的依据。学生倘若有困难，教师则应适时地给予指导。组成学生讨论关注b2-4ac与0的关系。设计目的在于：加强推理技能的训练，进一步发展逻辑学生的思维能力；培养学生总结归纳的能力。环节三：典例精析教师活动3： 例题1;[中考·凉山州]关于x 的一元二次方程(m－2)x+2x+ 1=0有实数根，则m 的取值范围是( ) A. m ≤ 3 B. m ＜ 3 C. m ＜ 3 且m ≠ 2 D. m ≤ 3 且m ≠ 2 解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答. 解：∵方程为一元二次方程，∴ m－2 ≠ 0，即m ≠ 2. ∵一元二次方程有实数根， ∴Δ ≥ 0，即4－4(m－2)≥ 0. ∴ m ≤ 3. ∴ m ≤ 3 且m ≠ 2.∴答案：D 例题2：将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝 的长度为周长做成正方形.两个正方形的面积之和可能等于12 cm2 吗？若可能，分别求出两段铁丝的长度；若不可能，请说明理由. 学生活动3： 用判别式与根的情况解决实际问题。活动意图说明： 通过例题的学生，使学生能用判别式与根的关系，正确解决实际问题，体现数学来源于生活又服务于生活，提高学生的运用能力。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用公式法解下列方程 （1）2x+x-6=0 (2) x+4x=2 (3)5x-4x-12=0 (4)4x+4x+10=--8x 2.解下列方程，最适合用公式法求解的是(A) A. B. C. D. 3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(D) A. B. 且 C. 且 D. 且 选做题： 4.如果一直角三角形的三边为，，，，那么关于的方程的根的情况为( A ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数
C. 没有实数根 D. 无法确定根的情况 5.小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是( A ) A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 6.已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，其中，若是关于的函数，且，当时，的取值范围为( D ) A. B. C. D. 【综合拓展类作业】 7.下列关于x的方程中一定有实数根的是（ B ） A．x-x+2=0 B．x+x-2=0 C．x+x+2=0 D．x+1=0 8、关于x的一元二次方程-x+4mx+4=0的根的情况是（ C ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定的 9、[中考· 通辽]关于x 的一元二次方程x －(k－3)x－k+1=0的根的情况，下列说法正确的是( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 10.学校为了美化校园环境，计划在一 块长为40 m， 宽为20 m 的矩形空地上新建一个长为9 m，宽为7 m 的矩形花圃. （1）若要在这块空地上设计一个矩形花圃， 使它的面积比学校计划的面积多1 m. 请给出你认为合适的三种不同的设计方案； 解：学校计划新建的花圃的面积为9×7＝63(m)，比它多1 m2的矩形面积为64 m.因此，可设计以下方案： 方案一：长和宽都为8 m； 方案二：长为10 m，宽为6.4 m； 方案三：长为20 m，宽为3.2 m. 答案不唯一，但要注意矩形空地的实际大小． 2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下, 矩形花圃的面积能否增加2 m ？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. 解：不能．理由如下： 假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2m2.计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．设面积增加后的矩形花圃的长为x m，则宽为(16－x)m. 根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2.整理，得x－16x＋65＝0. ∵b－4ac＝(－16)－4×1×65＝－4<0，∴此方程没有实数根． ∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2 m.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 用公式法解下列方程： ． 2.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ] 3.已知关于的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为 [ ] ． 4.一元二次方程的解是 [， ] ． 选做题： 5.已知关于的一元二次方程． 求出方程的根 当为何整数时，此方程的两个根都为正整数 根据题意，得． ， ， 由知． 方程的两个根都是正整数，
是正整数． 为整数，
或，
或． 【综合拓展类作业】 6.[中考·云南] 若一元二次方程ax+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( D ) A. a<1 B. a ≤ 1 C. a ≤ 1 且a ≠ 0 D. a<1 且a ≠ 0 7.[中考·河南]一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8.[中考·台州] 关于x的方程x － 4x+m=0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( D ) A. m>2 B. m<2 C. m>4 D. m<4 9.已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）x＝＝m±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1， 当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13； 当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17； 综上所述，△ABC的周长为13或17．
教学反思
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