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分课时教学设计
第一课时《一元二次方程的运用（1）》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.6一元二次方程的运用的第一课时----用一元二次方程解决几何问题的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。
学习者分析 生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的几何图形实际问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。 1、知识掌握方面:学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式。 2、学生年龄特点：九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
教学目标 知识目标： 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标： 1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型； 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 情感态度价值观： 在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
教学重点 会用列一元二次方程的方法解有关几何问题的应用题。
教学难点 根据几何图形中的等量关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 解：设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (8-x )2＋(x＋6)2＝102 解得： 答：梯子顶端下滑2米，梯子底端滑动的距离和它相等。 （2）如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离能相等 解：设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等 (12-x)＋(x＋5)2＝132 解得： 答：梯子下滑7米时，梯子底端滑动的距离和它相等学生活动1： 复习梯子下滑问题。活动意图说明： 让学生温故而知新。进一步回顾一元二次方程的解法。环节二：探究利用一元二次方程探究面积问题教师活动2： （１）如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？ 解：设水渠的宽度为xm．
(92-2x)(60-x)=885×6 解得:x=1或105(舍去) 答:水渠应挖1m宽. (2) 如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少 解：设金边的宽度为xcm， 则整个挂画的长为（90+2x）cm， 宽为（40+2x）cm．由题意，得
（90+2x）×（40+2x）72%=90×40 解得:x=5或-70(舍去) 答:金边的宽应5cm. （3）如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长. 解：设截去正方形的边长为x厘米， 由题意得，长方体底面的长和宽分别是： （60-2x）厘米和（40-2x）厘米，
所以长方体的底面积为： （60-2x）（40-2x）=800 解得：X=-70或5，但因边框为长度，故取X=5 答:正方形的边长5厘米. （4）学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？ 解：设车棚平行于墙的边长为xm。 解得：x1=5米，x2=20米均合题意． 答：（1）若靠墙的5米时，则另一面为10米；
（2）若靠墙的20米时，则另一面为 2.5米． 学生活动2： 学生先独立思考，写出解题步骤，再小组讨论，得到不同的解题方法。完成问题1、2、3、4.活动意图说明： 设计4个问题，是学生掌握有关面积利用一元二次方程解答的方法，进一步使学生明晰用一元二次方程解决问题的步骤和关键点。环节三：探究利用一元二次方程求距离（长度问题）教师活动3： 例题1：如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位 于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一 艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补 给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线 航行,欲将一批物品送达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里 连接DF,根据题意得, AB⊥BC,DF⊥BC ∵AB∥DF D是AC的中点 ∴DF= AB=100海里 (2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里,其中 ) 分析：速度比==，相同的时间内路程比= 若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰的行程应为2X 海里.军舰所行的路程是AB+BE 设相遇时补给船航行x海里，则，DE=X海里,AB+BE=2x海里。 EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2X)海里 在直角三角形中=100+ 整理得 解答， ∴300-2x>0, x<150∴(舍去） ∴相遇时补给船行了118.4海里。 例题2：如图，在△ABC中，∠ B＝90°，AB=6cm ,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。如果P,Q分别从A,B同时出发，经几秒后，可使△ PBQ的面积等于8cm2 解：设经过t秒钟，可使△PBQ的面积等于8cm2 则BP=6-t,BQ=2t 在Rt△PBQ中，∵S△PBQ= BP·BQ ∴ （6-t）·2t=8 即12t-2t2=16, 解得t1=2或t2=4 答：经2秒或4秒后，△ PBQ的面积等于8cm2 学生活动3： 教师指导学习例题1. 小组讨论完成例题2.活动意图说明： 通过课本例题的讲解，知道在几何问题中如何寻找等量关系建立方程。再小组讨论完成例题2的学习。培养学生合作探究意识，提高学生的解题能力。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ A ） A．（32﹣x）（20﹣x）＝540 B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540 C．32×20﹣20x﹣30x＝540 D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540 第1题 第2题 2．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？ 若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ C ） A．5（5x+10）（2x﹣10）＝200 B．5（5x+10）（2x+10）＝200 C．5（5x﹣10）（2x﹣10）＝200 D．5（5x﹣10）（2x+10）＝200 3.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ B ） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 1 秒． 第4题 第5题 5．如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝ 2 m． 选做题： 6.九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.” 大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远 解：如图所示，甲乙两人同时从点O出发，在B点相遇。设经过X秒两人相遇，这时乙共行OB=3X, 甲共行OA+AB=7X.,OA=10,AB=7X-10, 又因为∠AOB=90°， 解得x=3.5或x=0（舍去） 此时甲走7×3.5=24.5.乙走3×3.5=10.5 答甲走24.5米，乙走10.5米 【综合拓展类作业】 7.如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上． （1）求五边形ABCDE的面积； （2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长． （3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明． 解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图， 则∠EAN＝∠AEN＝45°， ∴AN＝EN， ∵MN＝AB，EM＝CD， ∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m）， ∴AN＝6（m）， ∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD＝×（4+10）×6+2×10＝62（m2）； （2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m， 根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35， 解得：x1＝1，x2＝3， 答：BG的长为1m或3m； （3）设BG＝ym，且0＜BG＜6， 由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300， 化简，得，y2﹣4y﹣21＝0， 解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意， ∴投资7300元不能完成地面铺设.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.某小区规划在一个长为，宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为如图，则道路的宽为( C ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为，则点运动的时间是( B ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当三角形的面积是三角形的面积的三分之一时，经过多少秒时间？( C ) A. B. C. 或 D. 或 第1题 第2题 第3题 4.如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，根据条件，可列出方程：[]． 5.如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 [2] ． 第4题 第5题 第6题 选做题： 6.如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点、同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动．当、两点从出发开始到[或]秒时，点和点的距离是． 【综合拓展类作业】 7．如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y＝2，则x的值等于[+1]． 第7题 第8题 8.在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？ 解：设修建的路宽应为 [x] 米，余下的面积表示为[20×30﹣（30x+20x﹣x2）] 米2，则根据题意得：[20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551]． 一张长为，宽的矩形纸片，如图所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，求剪掉的正方形纸片的边长．
解：设剪掉的正方形纸片的边长为 ．
由题意，得
整理，得 ．
解方程，得 ，不符合题意，舍去．
答：剪掉的正方形的边长为．
教学反思
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第二章
课标要求 了解一元二次方程的概念。能灵活运用直接开平方、配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程。会根据根的判别式判断一元二次方程解的情况。知道一元二次方程根与系数的关系，并运用它来解决实际问题。能运用一元二次方程的知识来解决实际问题。
内容分析 一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学占有重要地位，通过对一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又为以后学习可化为一元二次方程的高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外学习一元二次方程对于其他学科有重要的意义。本章总体设计思路：问题情境---建立模型--拓展运用。首先通过情境问题建立有关方程，并归纳一元二次方程的概念，然后探索其解法，并在实际情境中加以运用，切实提高学生的运用能力和运用意识。
学情分析 本章知识面对初三学生，他们思维活跃，模仿能力强。已经开始占主导地位的抽象的逻辑思维逐步向经验性、理论性转化，观察、想象、记忆能力迅速发展，能超出直接的感知事物提出提出假设和进行推理、论证，很大程度上需要感性经验的支持。一元二次方程是刻画数量关系最重要的模式，一元二次方程的解法和实际运用，是初中阶段的核心内容，前面学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、平方根、因式分解等知识，对于解方程的基本思路比较熟悉，按照这种思路学习一元二次方程的解法。本章还要讨论根有关的几个问题（根的判别式、根与系数的关系）。在此基础上学习利用一元二次方程模式解决简单的实际问题。本章学习内容也为后续学习二次函数打下基础。
单元目标 （一）教学目标知识与技能：能够运用一元二次方程解决实际问题，能够根据具体问题检验结果的合理性，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力。了解一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。经历在具体情境中估算一元二次方程解得过程，发展估算意识和能力。会不解方程过程根的判别式判断一元二次方程解的情况，了解根与系数关系。过程与方法经历有具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系最有效的数学模型。情感态度与价值观能用一元二次方程解决实际问题，在解决问题的过程中体会数学的运用价值，教学重点、难点重点；运用知识、技能解决实际问题。难点：解题分析能力的提高。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识一元二次方程12用配方法解一元二次方程13用公式法解一元二次方程14用因式分解法解一元二次方程15一元二次方程根与系数的关系16运用用一元二次方程（1）17运用用一元二次方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识一元二次方程1.在具体问题中，通过观察、抽象，归纳出一元二次方程的概念，从中体会方程的模型思想；2.能判断一个方程是否为一元二次方程，并能理解一元二次方程的相关概念.1、学生回顾旧知。2、对问题1、2、3进行小组合作探究，列出方程并化简成一般形式。3、根据一元一次方程的概念类比出一元二次方程的定义，认识二次项、一次项、常数项及它们的系数。4、自学例题1、2，重点是根据多项式乘多项式的计算把方程化简成一般形式。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程的定义。环节3：典例精析。用配方法解一元二次方程1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.1、回顾旧知。2、探究用直接开平方求一元二次方程的解.3、探究用配方法解一元二次方程。4、解决前节课梯子底部滑动问题。5、运用知识解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究用配方法解一元二次方程。环节3：典例精析。用公式法解一元二次方程1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用公式法解一元二次方程；3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.1、回顾知识。2、用配方法解一元二次方程。3、用配方法推导一元二次方程的求根公式。4、讨论与0的关系。5、用判别式与根的情况解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程求根公式的推导。环节3：典例精析用因式分解法解一元二次方程能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法2、经历探索用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，体会转化、降次的思想。体会解决问题方法的多样性。3、培养学生探索精神、分析问题并解决问题的能力；培养学生的合作交流能力。1、知识回顾。2、讨论三种方法的解一元二次方程的优劣，3、生成因式分解法解一元二次方程的方法、根据和步骤。4、用因式分解法解一元二次方程。5、师生共同完成例题的学习，提高学生的综合运用能力。环节一：回顾旧知。环节二：探究因式分解法解一元二次方程。环节3：典例精析一元二次方程根与系数的关系1）理解并掌握根与系数的关系：（2）能运用根与系数的关系：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．（3）经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力.1、学生回答所提4个问题。2、填写表格。3、利用求根公式验证猜想的正确性。4、利用韦达定理直接说出两根之和及两根之积。5、通过例题1前3个问题的学习，模仿代入思路完成其他4个练习。6、利用韦达定理已知一根求另一个根及未知系数。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程根与系数的关系。环节3：典例精析用一元二次方程解决实际问题(1)知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。复习梯子下滑问题。学生先独立思考，写出解题步骤，再小组讨论，得到不同的解题方法。完成问题1、2、3、4.3、教师指导学习例题1.4、小组讨论完成例题2.环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决面积问题环节三：运用一元二次方程解决线段长度问题用一元二次方程解决实际问题(2)1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。 2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。 3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。1、回顾列方程解应用题的一般步骤。回顾成本价、进货价、标价、定价、销售价、成交价的联系与区别。2、完成填空题。3、完成表格的填写。4、列出方程并求出方程的解。5、小组讨论，由于设未知数不同列出的方程也不相同。回顾增长率的有关问题。6、小组合作完成问题1的探究，7、独立完成跟踪练习。环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决利润问题环节三：运用一元二次方程解决增长率问题回顾与思考1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．1、学生回顾本章内容，整理出本章的架构，理清各板块内容间的联系.2、学生对一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、根的判别式、一元二次方程的运用、根与系数的关系（韦达定理）知识梳理。3、一边梳理知识一边进行正对性练习，做到讲练结合。环节一：知识架构。环节二：知识梳理。
《一元二次方程》单元教学设计
活动一：回顾知识
活动二：探究一元二次方程的定义
任务一：认识一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务二：用配方法解一元二次方程
活动二：探究用配方法解一元二次方程
一
元
二
次
方
程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：用公式法解一元二次方程
活动二：探究一元二次方程求根公式
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究因式分解法求解一元二次方程
任务四：用因式分解法解一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
任务五：一元二次方程根与系数的关系
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究用一元二次方程解答面积问题
任务六：用一元二次方程解决实际问题(1)
一
元
二
次
方
程
活动三：探究用一元二次方程解答线段长度问题
活动一：知识回顾
任务七：用一元二次方程解决实际问题(2)
活动二：探究用一元二次方程解答利润问题
活动三：探究用一元二次方程解答增长率问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
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（北师大版版）九年级
上
2.6一元二次方程的运用（1）
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
知识目标：
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
能力目标：
1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
情感态度价值观：
在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
知识回顾
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
数学化
8m
x
(8-x)m
10m
知识回顾
①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
解：设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
(8-x )2＋(x＋6)2＝102
解得：
答：梯子顶端下滑2米，梯子底端滑动的距离和它相等。
知识回顾
（2）如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离能相等
解：设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
解得：
答：梯子下滑7米时，梯子底端滑动的距离和它相等
新知讲解
（１）如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
一、面积问题
解：设水渠的宽度为xm．
(92-2x)(60-x)=885×6
解得:x=1或105(舍去)
答:水渠应挖1m宽.
新知讲解
(2) 如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少
解：设金边的宽度为xcm，
则整个挂画的长为（90+2x）cm，
宽为（40+2x）cm．由题意，得
（90+2x）×（40+2x）72%=90×40
解得:x=5或-70(舍去)
答:金边的宽应5cm.
新知讲解
（3）如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.
解：设截去正方形的边长为x厘米，
由题意得，长方体底面的长和宽分别是：
（60-2x）厘米和（40-2x）厘米，
所以长方体的底面积为：
（60-2x）（40-2x）=800
解得：X=-70或5，但因边框为长度，故取X=5
答:正方形的边长5厘米.
新知讲解
（4）学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
解：设车棚平行于墙的边长为xm。列方程得
解得：x1=5米，x2=20米均合题意．
答：（1）若靠墙的5米时，则另一面为10米；
（2）若靠墙的20米时，则另一面为 2.5米．
新知讲解
二、距离（长度）问题
例题1：如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位
于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一
艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补
给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线
航行,欲将一批物品送达军舰.
(1) 小岛D和小岛F相距多少海里
A
B
D
C
E
F
图 2-8
北
东
新知讲解
连接DF,根据题意得,
AB⊥BC,DF⊥BC
∵AB∥DF D是AC的中点
∴DF= AB=100海里
A
B
D
C
E
F
图 2-8
北
东
200
200
(1) 小岛D和小岛F相距多少海里
新知讲解
(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里,其中 )
A
B
D
C
E
F
图 2-8
北
东
100
200
200
∵两船速度之比为
∴相同时间内两船的行程之比为
x
若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰的行程应为 海里.
图上哪一部分对应的是军舰的行程
2x
新知讲解
A
B
D
C
E
F
图 2-8
北
东
100
200
200
新知讲解
例题2：如图，在△ABC中，∠ B＝90°，AB=6cm ,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。如果P,Q分别从A,B同时出发，经几秒后，可使△ PBQ的面积等于8cm2
解：设经过t秒钟，可使△PBQ的面积等于8cm2
则BP=6-t,BQ=2t
在Rt△PBQ中，∵S△PBQ= BP·BQ
∴ （6-t）·2t=8
即12t-2t2=16, 解得t1=2或t2=4
答：经2秒或4秒后，△ PBQ的面积等于8cm2
C
B
Q
A
P
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540 B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540 D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
2．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A．5（5x+10）（2x﹣10）＝200 B．5（5x+10）（2x+10）＝200
C．5（5x﹣10）（2x﹣10）＝200 D．5（5x﹣10）（2x+10）＝200
A
C
课堂练习
3.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
B
课堂练习
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 秒．
5．如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝ m．
1
2
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”
大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远
O
东
北
A
B
3x
10
7x-10
解：如图所示，甲乙两人同时从点O出发，在B点相遇。设经过X秒两人相遇，这时乙共行OB=3X, 甲共行OA+AB=7X.,OA=10,AB=7X-10,
又因为∠AOB=90°，列方程得
解得x=3.5或x=0（舍去）
此时甲走7×3.5=24.5.乙走3×3.5=10.5
答甲走24.5米，乙走10.5米
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．
课堂练习
解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，
则∠EAN＝∠AEN＝45°，
∴AN＝EN，
∵MN＝AB，EM＝CD，
∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），
∴AN＝6（m），
∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD＝
×（4+10）×6+2×10＝62（m2）；
课堂练习
（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，
根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35，
解得：x1＝1，x2＝3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）设BG＝ym，且0＜BG＜6，
由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，
化简，得，y2﹣4y﹣21＝0，
解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设.
课堂总结
本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在建构方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注意哪些重要环节
整体地、系统地审清问题
把握问题中的等量关系
正确求解方程并检验解的合理性
你还有哪些新的、有价值的收获吗
板书设计
建构方程数学模型
列方程，解方程
审题，找等量关系
检验答案是否合理，作答
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
c
B
作业布置
c
[2]
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
作业布置
7．如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y＝2，则x的值等于
8.在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少？
解：设修建的路宽应为 米，余下的面积表示为
平方米，则根据题意得：
[x]
作业布置
作业布置
Thanks!
2
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