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分课时教学设计
第一课时《一元二次方程的运用(2)》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.6一元二次方程的运用的第二课时，主要内容是利润问题和增长率问题，本节课是在学生掌握了一元二次方程的解法的基础上进行，利润问题、增长率问题是实际问题中的最常见类型，它揭示了一元二次方程的实际运用，练习生活，又运用于生活，为以后学习二次函数中求最值问题奠定基础。
学习者分析 刚进入九年级学生，有一定的销售问题中的数量关系基础，和前面解一元二次方程的基本能力，具备了一定的把实际问题转化为方程模式的思想，有列方程解决问题的基本思路。
教学目标 1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。 2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。 3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。
教学重点 如何全面地比较几个对象的变化状况
教学难点 发现利润、增长率问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一:回顾旧知教师活动1： 一、解应用题的步骤 1.审:审清题意:已知什么,求什么 已知,未知之间有什么关系 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 二、有关利润的基本知识 (1)成本价(进货价) (2)标价(定价) (3)售价(成交价) (4)利润=售价-进价 1、若1个茶叶蛋卖2元，成本0.8元，则 （1）卖1个茶叶蛋的利润= 1.2 元 （2）卖10个蛋的总利润= 1.2 （1个蛋的利润）× 10 （个数）= 12 元。 （３）鸡蛋降价x元后， 卖出10个蛋的总利润= 1.2-X （1个蛋的利润）× 10 （个数）=10(1.2-X)元。学生活动1： 回顾列方程解应用题的一般步骤。 回顾成本价、进货价、标价、定价、销售价、成交价的联系与区别。 完成填空题。活动意图说明： 复习旧知，为新授奠基。 环节二：探究用一元二次方程解有关利润问题教师活动2： 例1 信宜昌大昌超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元。为了尽快减少库存，商场决定采用适当的降价措施。经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若每箱降价x元。（1）根据题意，填表： 若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？ 解：由题意，得 (30-x)(20+5x)=1200 解这个方程，得x1=20, x2 =6 ∵为了尽快减少库存，∴x=20 答：每箱应降价20元。 2、小组合作讨论 新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元 你能想到多少种设未知数列方程的方法呢？ 方法一：设降价x元，由题意，得 方法二：设降价x个50元，由题意，得 方法三：设定价为x元，由题意，得 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元至60元范围内，当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元 这时应购进台灯多少个 解：设每个台灯涨价x元，依题意得 (400+x-30)(600-10x)=10000 整理得 解得， ∵40+X=40+10=50, 40+X=40+40=80>60(舍去） ∴600-x=600-100=500 答：每个台灯的定价为50元，进货量为500个。学生活动2： 完成表格的填写。 列出方程并求出方程的解。 小组讨论，由于设未知数不同列出的方程也不相同。活动意图说明： 设计有关利润的问题从简单到复杂逐步深入，达到本节课的教学目的。环节三：探究用一元二次方程解决增长问题教师活动3： （1）增长率问题 设基数为a，平均增长率为x， 则一次增长后的值为 二次增长后的值为 n次增长后的值为 降低率问题 设基数为a，平均降低率为x， 则一次降低后的值为 则二次降低后的值为 则n次降低后的值为 问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台. 求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）. 思考:(1)若设年平均增长率为x, 你能用x的代数式表示2002年的台数吗 【】 (2)据此,你能列出方程吗 【=2083】 解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题意得=2083 答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率是52.8%. 跟踪练习 1、某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少 解：设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得7000（1+x）2=8470，
解得x=0.1=10%，x=-2.1（不合题意，舍去）
答：平均每月增长的百分率为10% 2、某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少，据统计，2013年和2014年的近视眼人数合计只占2012年人数的75%，这两年平均每年近视人数降低的百分率是多少 解：设这两年平均每年近视人数降低的百分率为x，由题意列出方程得：
（1-x）+（1-x）2=0.75．
解得x=0.5=50%，x=2.5（舍去）．
故这两年平均每年近视人数降低的百分率为50% 提示：增长率问题中若基数不明确，通常可设为“1”,或设为a等,设为“1”更常用 3、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有（ x+3）株,平均单株盈利为 （3-0.5想）元.由题意,得（(x+3）(3-0.5x)=10 化简，整理，得 x2-3x+2=0 解这个方程,得:x=1, x=2 经检验，x=1,x=2都是方程的解，且符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.学生活动3： 回顾增长率的有关问题。 小组合作完成问题1的探究， 独立完成跟踪练习。活动意图说明： 首先回顾增长率有关问题，然后设计问题1，师生共同探究。接着学生独立完成跟踪练习，这样设计符合学生的认知规律。从而突破本节课的教学重点分散教学难点，
板书设计 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.每天盈利1600元,设每件降价x元，下列所列方程正确的是（B ） A. (44-5x)(20+x)=1600 B. (44-x)(20+5x)=1600 C. 20(44-x)=1600 D. (44-x)(20+5)=1600 2.某工厂一月份的产值是5万元, 三月份的产值是11.25万元, 求月平均增长率是50%. 3．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（ C ） A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600 4．受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，根据题意可得方程（ D ） A． B． C． D． 5．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ C ） A．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52 B．60（1﹣2x）＝52 C．60（1﹣x）2＝52 D．60（1﹣x2）＝52 6．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ D ） A．1+x＝4 B．（1+x）2＝4 C．1+（1+x）2＝4 D．1+（1+x）+（1+x）2＝4 选做题： 7．今年三月，新冠肺炎疫情再次波及长沙，某社区超市将原来每瓶售价为20元的免洗消毒液经过两次降价后（每次降价的百分率相同），以每瓶16.2元出售支持社区防疫． （1）求每次降价的百分率； （2）商家库存的1000瓶免洗消毒液每瓶进价为15元，仓储、人工等成本大约共1500元，计划通过以上两次降价方式全部售出后确保不亏损，那么第一次降价至少售出多少瓶后，方可进行第二次降价？ 解：（1）设每次降价的百分率为x， 则20（1﹣x）2＝16.2， 解得x＝0.1或x＝1.9（舍）， 答：每次降价的百分率为10%． （2）由（1）知第一次降价后的售价为18元，设第一次降价销售y瓶， 根据题意得：（18﹣15）y+（16.2﹣15）（1000﹣y）≥1500， 解得：y≥≈166.7， 答：第一次降价至少售出167瓶后，方可进行第二次降价． 【综合拓展类作业】 8.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元 解：设每张贺卡应降低x元，依题意得 整理得 解方程得： 答：每张贺卡应降低0.1元。 9.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售,尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价4元，商场平均每天可多售出8件.当每件衬衣降价多少元时，日销售利润会达到1200元 解：设每件衬衣降价x元，由题意，得 (40-x)(20+2x)=1200 解得x=20 x=10 ∵要尽快减少库存，∴x=20 答：每件衬衣应降价20元。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 [4+2.6（1+x）2＝7.146]． 2．九江某农场2019年种植1亩蔬菜的成本是4000元，由于原料价格上涨，2021年生产种植1亩蔬菜的成本是6000元，求该农场种植1亩蔬菜成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为 [4000（1+x）2＝6000]． 3．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得[ x（x﹣1）＝15] 4．据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（ D ） A．x（x+1）＝156 B．x（x﹣1）＝156 C．（x+1）＝156 D．x（x﹣1）＝156 5．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（ B ） A．1.5（1+2x）＝4.8 B．1.5×2（1+x）＝4.8 C．1.5（1+x）2＝4.8 D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8 6．新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为x，则下列方程中正确的是（ D ） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 C．50（1+2x）2＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 选做题： 7.某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ． 小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ． （2）请写出一种完整的解答过程． 解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件， 依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件， 依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000． 故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000． （2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000， 整理，得：x2﹣200x+7500＝0， 解得：x1＝50，x2＝150， ∴1100﹣x＝1050或950． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000， 整理，得：y2﹣2000y+997500＝0， 解得：y1＝1050，y2＝950． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 【综合拓展类作业】 8．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 解：（1）设月平均增长率是x， 依题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝10，y2＝20． 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：售价应降低20元． 9．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%）， 解得：y≤， 又∵y为整数， ∴y的最大值为18． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
教学反思
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第二章
课标要求 了解一元二次方程的概念。能灵活运用直接开平方、配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程。会根据根的判别式判断一元二次方程解的情况。知道一元二次方程根与系数的关系，并运用它来解决实际问题。能运用一元二次方程的知识来解决实际问题。
内容分析 一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学占有重要地位，通过对一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又为以后学习可化为一元二次方程的高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外学习一元二次方程对于其他学科有重要的意义。本章总体设计思路：问题情境---建立模型--拓展运用。首先通过情境问题建立有关方程，并归纳一元二次方程的概念，然后探索其解法，并在实际情境中加以运用，切实提高学生的运用能力和运用意识。
学情分析 本章知识面对初三学生，他们思维活跃，模仿能力强。已经开始占主导地位的抽象的逻辑思维逐步向经验性、理论性转化，观察、想象、记忆能力迅速发展，能超出直接的感知事物提出提出假设和进行推理、论证，很大程度上需要感性经验的支持。一元二次方程是刻画数量关系最重要的模式，一元二次方程的解法和实际运用，是初中阶段的核心内容，前面学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、平方根、因式分解等知识，对于解方程的基本思路比较熟悉，按照这种思路学习一元二次方程的解法。本章还要讨论根有关的几个问题（根的判别式、根与系数的关系）。在此基础上学习利用一元二次方程模式解决简单的实际问题。本章学习内容也为后续学习二次函数打下基础。
单元目标 （一）教学目标知识与技能：能够运用一元二次方程解决实际问题，能够根据具体问题检验结果的合理性，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力。了解一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。经历在具体情境中估算一元二次方程解得过程，发展估算意识和能力。会不解方程过程根的判别式判断一元二次方程解的情况，了解根与系数关系。过程与方法经历有具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系最有效的数学模型。情感态度与价值观能用一元二次方程解决实际问题，在解决问题的过程中体会数学的运用价值，教学重点、难点重点；运用知识、技能解决实际问题。难点：解题分析能力的提高。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识一元二次方程12用配方法解一元二次方程13用公式法解一元二次方程14用因式分解法解一元二次方程15一元二次方程根与系数的关系16运用用一元二次方程（1）17运用用一元二次方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识一元二次方程1.在具体问题中，通过观察、抽象，归纳出一元二次方程的概念，从中体会方程的模型思想；2.能判断一个方程是否为一元二次方程，并能理解一元二次方程的相关概念.1、学生回顾旧知。2、对问题1、2、3进行小组合作探究，列出方程并化简成一般形式。3、根据一元一次方程的概念类比出一元二次方程的定义，认识二次项、一次项、常数项及它们的系数。4、自学例题1、2，重点是根据多项式乘多项式的计算把方程化简成一般形式。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程的定义。环节3：典例精析。用配方法解一元二次方程1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.1、回顾旧知。2、探究用直接开平方求一元二次方程的解.3、探究用配方法解一元二次方程。4、解决前节课梯子底部滑动问题。5、运用知识解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究用配方法解一元二次方程。环节3：典例精析。用公式法解一元二次方程1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用公式法解一元二次方程；3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.1、回顾知识。2、用配方法解一元二次方程。3、用配方法推导一元二次方程的求根公式。4、讨论与0的关系。5、用判别式与根的情况解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程求根公式的推导。环节3：典例精析用因式分解法解一元二次方程能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法2、经历探索用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，体会转化、降次的思想。体会解决问题方法的多样性。3、培养学生探索精神、分析问题并解决问题的能力；培养学生的合作交流能力。1、知识回顾。2、讨论三种方法的解一元二次方程的优劣，3、生成因式分解法解一元二次方程的方法、根据和步骤。4、用因式分解法解一元二次方程。5、师生共同完成例题的学习，提高学生的综合运用能力。环节一：回顾旧知。环节二：探究因式分解法解一元二次方程。环节3：典例精析一元二次方程根与系数的关系1）理解并掌握根与系数的关系：（2）能运用根与系数的关系：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．（3）经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力.1、学生回答所提4个问题。2、填写表格。3、利用求根公式验证猜想的正确性。4、利用韦达定理直接说出两根之和及两根之积。5、通过例题1前3个问题的学习，模仿代入思路完成其他4个练习。6、利用韦达定理已知一根求另一个根及未知系数。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程根与系数的关系。环节3：典例精析用一元二次方程解决实际问题(1)知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。复习梯子下滑问题。学生先独立思考，写出解题步骤，再小组讨论，得到不同的解题方法。完成问题1、2、3、4.3、教师指导学习例题1.4、小组讨论完成例题2.环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决面积问题环节三：运用一元二次方程解决线段长度问题用一元二次方程解决实际问题(2)1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。 2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。 3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。1、回顾列方程解应用题的一般步骤。回顾成本价、进货价、标价、定价、销售价、成交价的联系与区别。2、完成填空题。3、完成表格的填写。4、列出方程并求出方程的解。5、小组讨论，由于设未知数不同列出的方程也不相同。回顾增长率的有关问题。6、小组合作完成问题1的探究，7、独立完成跟踪练习。环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决利润问题环节三：运用一元二次方程解决增长率问题回顾与思考1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．1、学生回顾本章内容，整理出本章的架构，理清各板块内容间的联系.2、学生对一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、根的判别式、一元二次方程的运用、根与系数的关系（韦达定理）知识梳理。3、一边梳理知识一边进行正对性练习，做到讲练结合。环节一：知识架构。环节二：知识梳理。
《一元二次方程》单元教学设计
活动一：回顾知识
活动二：探究一元二次方程的定义
任务一：认识一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务二：用配方法解一元二次方程
活动二：探究用配方法解一元二次方程
一
元
二
次
方
程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：用公式法解一元二次方程
活动二：探究一元二次方程求根公式
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究因式分解法求解一元二次方程
任务四：用因式分解法解一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
任务五：一元二次方程根与系数的关系
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究用一元二次方程解答面积问题
任务六：用一元二次方程解决实际问题(1)
一
元
二
次
方
程
活动三：探究用一元二次方程解答线段长度问题
活动一：知识回顾
任务七：用一元二次方程解决实际问题(2)
活动二：探究用一元二次方程解答利润问题
活动三：探究用一元二次方程解答增长率问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
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（北师大版版）九年级
上
2.6一元二次方程的运用（2）
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。
2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。
3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。
知识回顾
解应用题的步骤
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么 已知,未知之间有什么关系
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
知识回顾
(1)成本价(进货价)
(2)标价(定价)
(3)售价(成交价)
(4)利润=售价-进价
一、有关利润的基本知识
有关利润的基本知识
1.2
1.2
10
12
1.2-x
10
10(1.2-x)
1、若1个茶叶蛋卖2元，成本0.8元，则
（1）卖1个茶叶蛋的利润=___________元
（2）卖10个蛋的总利润=_____（1个蛋的利润）×___（个数）=_________元。
（３）鸡蛋降价x元后，
卖出10个蛋的总利润=_____（1个蛋的利润）×_____（个数）=_________元。
知识回顾
新知讲解
例1 信宜昌大昌超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元。为了尽快减少库存，商场决定采用适当的降价措施。经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若每箱降价x元。（1）根据题意，填表：
降价（元）
销售量增加（箱）
销售量（箱）
单利润（元）
降价前
20
30
降价后
1
5
2
10
x
20+5
30-1
2×5
20+2×5
30-2
5×5
20+5×5
30-5
5x
20+5x
30-x
新知讲解
例1 信宜昌大昌超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元。为了尽快减少库存，商场决定采用适当的降价措施。经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？
降价（元） 销售量增加（箱） 销售量（箱） 单利润（元）
降价后 x
5x
20+5x
30-x
解：由题意，得
(30-x)(20+5x)=1200
解这个方程，得x1=20, x2 =6
∵为了尽快减少库存，∴x=20
答：每箱应降价20元。
新知讲解
新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
你能想到多少种设未知数列方程的方法呢？
小组合作讨论
新知讲解
方法一：设降价x元，由题意，得
方法二：设降价x个50元，由题意，得
(2900-50x-2500)(8+4x)=5000
方法三：设定价为x元，由题意，得
新知讲解
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元至60元范围内，当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元 这时应购进台灯多少个
新知讲解
二、增长问题
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为
则n次增长后的值为
则二次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为
二次降低后的值为
依次类推n次降低后的值为
（2）降低率问题
新知讲解
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.
求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
思考:(1)若设年平均增长率为x,
你能用x的代数式表示2002年
的台数吗
892(1+x)2
(2)据此,你能列出方程吗
892(1+x)2=2083
.
.
.
.
.
年份
上网计算 机总台数
(万台)
3200
2400
1600
800
0
2000年
1月1日
2000年
12月31日
2001年
12月31日
2002年
12月31日
2003年
12月31日
350
892
1254
2083
3089
新知讲解
解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题意得
892（1+x)2=2083
(1+x)2=
≈52.8%
(不合题意，舍去）
答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率是52.8%.
新知讲解
1、某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少
解：设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得7000（1+x）2=8470，
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）
答：平均每月增长的百分率为10%
跟踪练习
新知讲解
2、某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少，据统计，2013年和2014年的近视眼人数合计只占2012年人数的75%，这两年平均每年近视人数降低的百分率是多少
解：设这两年平均每年近视人数降低的百分率为x，由题意列出方程得：
（1-x）+（1-x）2=0.75．
解得x1=0.5=50%，x2=2.5（舍去）．
故这两年平均每年近视人数降低的百分率为50%
提示：增长率问题中若基数不明确，通常可设为“1”,或设为a等,设为“1”更常用
3、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
新知讲解
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有______株,平均单株盈利为__________元.由题意,得
化简，整理，得 x2-3x+2=0
解这个方程,得:x1=1, x2=2
经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
(x+3)
(3-0.5x)
(x+3)(3-0.5x)=10
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.每天盈利1600元,设每件降价x元，下列所列方程正确的是（ ）
2.某工厂一月份的产值是5万元, 三月份的产值是11.25万元, 求月平均增长率是________.
A. (44-5x)(20+x)=1600 B. (44-x)(20+5x)=1600
C. 20(44-x)=1600 D. (44-x)(20+5)=1600
B
50%
课堂练习
3．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600
4．受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，根据题意可得方程（ ）
C
D
课堂练习
5．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52 B．60（1﹣2x）＝52
C．60（1﹣x）2＝52 D．60（1﹣x2）＝52
6．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x＝4 B．（1+x）2＝4
C．1+（1+x）2＝4 D．1+（1+x）+（1+x）2＝4
C
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7．今年三月，新冠肺炎疫情再次波及长沙，某社区超市将原来每瓶售价为20元的免洗消毒液经过两次降价后（每次降价的百分率相同），以每瓶16.2元出售支持社区防疫．
（1）求每次降价的百分率；
（2）商家库存的1000瓶免洗消毒液每瓶进价为15元，仓储、人工等成本大约共1500元，计划通过以上两次降价方式全部售出后确保不亏损，那么第一次降价至少售出多少瓶后，方可进行第二次降价？
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
8.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元
课堂练习
9.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售,尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价4元，商场平均每天可多售出8件.当每件衬衣降价多少元时，日销售利润会达到1200元
解：设每件衬衣降价x元，由题意，得
(40-x)(20+2x)=1200
解得x1=20 x2=10
∵要尽快减少库存，∴x=20
答：每件衬衣应降价20元。
课堂总结
1、利润问题常见关系式
基本关系：(1)利润＝售价－进价；
(２)总利润＝单个利润×销量
2、增长问题
n次增长值
n次降低值
板书设计
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为
2．九江某农场2019年种植1亩蔬菜的成本是4000元，由于原料价格上涨，2021年生产种植1亩蔬菜的成本是6000元，求该农场种植1亩蔬菜成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为
3．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得
[4+2.6（1+x）2＝7.146]．
[4000（1+x）2＝6000]．
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（ ）
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
5．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（ ）
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
6．新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为x，则下列方程中正确的是
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ．
（2）请写出一种完整的解答过程．
【综合拓展类作业】
作业布置
解：（1）小明
小红
（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
【综合拓展类作业】
作业布置
8．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【综合拓展类作业】
作业布置
解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，∴y＝20．
答：售价应降低20元．
作业布置
9．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
作业布置
Thanks!
2
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