(共49张PPT)
（北师大版版）九年级
上
回顾与思考
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
知识架构
02
知识梳理
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；
3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
知识架构
知识梳理
一、一元二方程的概念
1.概念：
只含有___个未知数，并且未知数的最高次数为___的_____方程.
2.一般形式：
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a___0).其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
1
2
整式
≠
边讲边练
1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2、把方程（1-x）（2-x）=3-x2化为一般形式是：___________， 其二次项系数是____，一次项是____，常数项是____。
3、方程（m-2）x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m 时，是一元二次方程；
当m 时，是一元一次方程.
A
2x2-3x-1=0
2
-3x
-1
c
≠±1
=-1
知识梳理
二、一元二次方程的解法
解法 方程类型 注意事项
1.直接开平方法 (1)当方程缺少一次项，即方程ax2+c=0(a≠0，ac<0) (2)形如a(x+n)2=b(a≠0，ab>0)的方程 开方后取值符号是“±”
2.配方法 将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，考虑使用配方法：给方程两边同时加上_____________________ (1)在配方过程中，一定要在等号两边同时加上一个_____的数；
(2)将方程的二次项系数化为1后，一次项的正负决定配方后括号里面是加或减
一次项系数一半的平方
相同
解法 方程类型 注意事项
3.公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为x= (1)使用求根公式时，要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为________；
(2)将a,b,c代入求根公式时应注意其符号；
(3)若b2-4ac<0，则原方程___________
4.因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因数，形如x(ax+b)=0或(ax+b)(cx+d)=0 (1)等号右边必须化为0，若不为0，不能用此法；
(2)方程两边含有x的相同因式时，不能约去，以免丢根，如对于一元二次方程(x-2)(x+2)=(x-2)，不能两边同时约去x-2，会造成漏解
0
无解
知识梳理
1.选用适当方法解下列一元二次方程
边讲边练
1、（2x+1）2=64
2、（x-2）2-4(x+１）2=0
3、（５x-４）2 -（4-５x）=0
4、 x２-４x-10=０
5、 ３x２-４x-５=０
6、 x２＋６x-1=0
7、 x２ -x-３=０
直接开平方
分解因式
分解因式
配方
公式
配方
公式
边讲边练
2、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式
是 ；此方程的根是
3、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=－7
4、解下列一元二次方程
(1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解)
(2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)
(3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)
(x－1)2=3
D
边讲边练
知识梳理
三、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为：b2-4ac.
2.与根的关系；
1.b2-4ac>0 一元二次方程有两个________的实数根
2._________ 一元二次方程有两个相等的实数根
3._________ 一元二次方程没有实数根
b2-4ac=0
b2-4ac<0
不相等
边讲边练
1.已知一元二次方程 下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根。B.该方程有两个不相等的实数根。
C.该方程无实数根。 D.该方程根的情况不确定。
2.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 。
3. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
B
A
边讲边练
4、已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根．
解：根据题意得： ，
解得：，即k的取值范围为：；
由题意得：，
原方程的一个根是2，
方程的另一个根是，
由，．
边讲边练
5、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求k的值．
解：，
整理得．
方程有两个实数根，．
，
解得；
边讲边练
5、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求k的值．
由根与系数关系知：
，，
又，代入得，
，
，，
可化简为．
解得不合题意，舍去或，
．
知识梳理
四、一元二次方程的实际应用
1.平均变化率问题
①.
②.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为2，则有___________
③.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，下降次数为2，则有___________
a(1+x)2=b
a(1-x)2=b
知识梳理
2.利润问题
①利润=售价-成本.
②总利润=总售价-总成本.
③总利润=单个利润×总数量.
利润率=
④
3.几何问题
知识梳理
①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式;
②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线;
③重视数形结合的思想方法
1.疫情期间，某口罩厂一月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到121万只，则该厂二、三月份产量的月平均增长率为( )
A. 12.1% B. 20% C. 21% D. 10%
2.商店某种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得到更多优惠的前提下，商家一个星期还想获得6080元利润，应将销售单价定为( )
A. 56元 B. 57元
C. 59元 D. 57元或59元
边讲边练
D
A
3.如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( )
A. (30－2x)(40－x)＝600 B. (30－x)(40－x)＝600
C. (30－x)(40－2x)＝600 D. (30－2x)(40－2x)＝600
D
边讲边练
4、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
解：万元．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．
5、某驻村工作队，为带动群众增加收入致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村的山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
边讲边练
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69+1-2x)m.
根据题意，得
x(69+1-2x)=600.
整理，得x2-35x+300=0.
解得x1=15，x2=20.
当x=15时，70-2x=40＞35，不符合题意，舍去；
当x=20时，70-2x=30，符合题意．
答：这个茶园的长为30 m，宽为20 m．
边讲边练
6.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克
(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元
解：(1)500-10×(55-50)=450(千克).
答：当售价为55元/千克时，每月销售水果450千克.
(2)设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750=(x-40)[500-10(x-50)],
解得：x1=65，x2=75,
答：每千克水果售价为65元或75元.
知识梳理
五、根与系数的关系
是一元二次方程 的两个根，
则
边讲边练
D
C
D
D
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0.
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值.
边讲边练
(1)证明：依题意可得Δ=(2m+1)2-4(m-2)=4m2+9>0，
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)解： 由根与系数的关系可得：
由x1+x2+3x1x2=1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得m=8.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A．2x＋3y－5＝0 B．x2＋ ＝1 C．x2－1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．已知一元二次方程x2＋kx＋3＝0的一个根为3，则k的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
3．用配方法解方程x2＋4x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x－2)2＝1 B．(x－4)2＝11 C．(x＋2)2＝9 D．(x＋4)2＝21
C
A
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4．关于x的一元二次方程－kx2－6x＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞－3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞－3且k≠0
5．若关于x的方程xm＋1－3＝0是一元二次方程，则m＝ ．
6．若关于x的方程x2＝a－1有实数根，则a的取值范围为 ．
7．方程(x＋3)2＝x＋3的根是 ．
8．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
D
1
a≥1
x1＝－3，x2＝－2．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数
解：(1)设所求方程的根为z，
则z＝－x，所以x＝－z.
把x＝－z代入已知方程，得z2－z－2＝0，
故所求方程为z2－z－2＝0.
(2)设所求方程的根为t，
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
10.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25，－16，第一次按键后，A，B两区分别显示25＋a2，－16－3a.
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，得A，B两区显示的代数式的和为1，求a的值．
课堂练习
解：(1)25＋a2＋a2＝25＋2a2，
－16－3a－3a＝－16－6a.
答：A区显示的结果为(25＋2a2)，B区显示的结果为(－16－6a)．
(2)依题意，得25＋4a2＋(－16－12a)＝1，
化简，得a2－3a＋2＝0，解得a1＝2，a2＝1.
答：a的值为2或1.
课堂练习
11．关于x的一元二次方程x2－(k－3)x－2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．
(1)证明：∵b2－4ac＝[－(k－3)]2－4×1×(－2k＋2)
＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2) 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝k－3
x1x2＝－2k＋2，
∴x1＋x2＋x1x2＝(k－3)＋(－2k＋2)＝2，
解得k＝－3.
课堂练习
12.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
课堂练习
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个，
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000，
整理，得x2－360x＋32 400＝0，
解得x1＝x2＝180.
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
课堂总结
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）
一元二次方程的解法
直接开平方法：适应于形如（x-k） =h（h>0）型
配方法：适应于任何一个一元二次方程
公式法：适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
一元二次方程的应用
1.审 2.设 3列 4.解 5.验 6.答
板书设计
一元二次方程
实际应用
根与系数的关系
解
解法
基本特征
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
12
9
作业布置
C
A
作业布置
C
D
作业布置
3
1
-5
6
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
作业布置
作业布置
作业布置
Thanks!
2
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《回顾与思考》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力； 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.
教学目标 1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等； 3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
教学重点 运用知识、技能解决问题．
教学难点 解题分析能力的提高．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构教师活动1： 学生活动1： 学生回顾本章内容，整理出本章的架构，理清各板块内容间的联系.活动意图说明： 整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.环节二：知识梳理教师活动2： 一、一元二方程的概念 只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数为 2 的 整式 方程. 2.一般形式： ax+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 边讲边练 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( A ) A. x=0 B. ax+bx+c=0 C. (m 1)x+x+1=0 D. x+2=x(x+1) 2、把方程（1-x）（2-x）=3-x2化为一般形式是：2X-3X-1=0， 其二次项系数是 2 ，一次项是 -3X ，常数项是 -1 3、方程（m-2）x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2 4、方程(m－1)x+(m－1)x+1=0， 当m ≠±1 时，是一元二次方程； 当m =-1时，是一元一次方程. 二、一元二次方程的解法 边讲边练 1.选用适当方法解下列一元二次方程 将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 （x-1） =3 ；此方程的根是 x=1± 3、用配方法解方程x+8x+9=0时，应将方程变形为 ( D ) A.(x+4)=7 B.(x+4)=－9 C.(x+4)=25 D.(x+4)=－7 4、解下列一元二次方程 (1) 4x－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x=2x－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解) 三、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程ax+bx+c=0的根的判别式为：b-4ac. 2.与根的关系； 1.b-4ac>0 一元二次方程有两个 不相等 的实数根 2.b-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数根 3.b-4ac<0一元二次方程没有实数根 边讲边练 1.已知一元二次方程x+x-1=0下列判断正确的是（ B ） A.该方程有两个相等的实数根。B.该方程有两个不相等的实数根。 C.该方程无实数根。 D.该方程根的情况不确定。 2.已知关于x的一元二次方程 (m-a)x+x+1=0 有实数根。则m的 取值范围是m≤且m≠1 。 3. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4、已知关于x的一元二次方程3x 5x+k=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若原方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根． 解：(1)根据题意得： △=( 5) 12k=25 12k≥0， 解得：k≤，即k的取值范围为：k≤； (2)由题意得：x+x=， ∵ 原方程的一个根是2， ∴方程的另一个根是 2= ， 由x x=，∴k= ×2×3= 2． 已知关于x的一元二次方程x 2kx+k+2=2(1 x)有两个实数根x，x． (1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x，x满足|x+x|=xx 22，求k的值． 解：x 2kx+k+2=2(1 x)， 整理得x (2k 2)x+k=0． (1)方程有两个实数根x，x． ∴△=(2k 2) 4k≥0， 解得k≤1/2； (2)由根与系数关系知： x+x=2k 2，xx=k， 又|x+x|=xx 22，代入得， |2k 2|=k 22， ∵k≤，∴2k 2<0， ∴|2k 2|=k 22可化简为k+2k 24=0． 解得k=4(不合题意，舍去)或k= 6， ∴k= 6． 四、一元二次方程的实际应用 1.平均变化率问题 ①.变化率=变化量/基础量×100% ②.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为2，则有 ③.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，下降次数为2，则有 2.利润问题 ①利润=售价-成本. ②总利润=总售价-总成本. ③总利润=单个利润×总数量. ④利润率=利润/成本×100% 3.几何问题 ①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式; ②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线; ③重视数形结合的思想方法 边讲边练 1.疫情期间，某口罩厂一月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到121万只，则该厂二、三月份产量的月平均增长率为( D ) A. 12.1% B. 20% C. 21% D. 10% 2.商店某种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得到更多优惠的前提下，商家一个星期还想获得6080元利润，应将销售单价定为( A ) A. 56元 B. 57元 C. 59元 D. 57元或59元 3.如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( D ) A. (30－2x)(40－x)＝600 B. (30－x)(40－x)＝600 C. (30－x)(40－2x)＝600 D. (30－2x)(40－2x)＝600 4、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 解：(1)450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)=504， 解得：x=0.2=20%，x= 2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 5、某驻村工作队，为带动群众增加收入致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村的山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69+1-2x)m. 根据题意，得 x(69+1-2x)=600. 整理，得x-35x+300=0. 解得x=15，x=20. 当x=15时，70-2x=40＞35，不符合题意，舍去； 当x=20时，70-2x=30，符合题意． 答：这个茶园的长为30 m，宽为20 m 6.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克. (1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克 (2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元 解：(1)500-10×(55-50)=450(千克). 答：当售价为55元/千克时，每月销售水果450千克. (2)设每千克水果售价为x元， 由题意可得：8750=(x-40)[500-10(x-50)], 解得：x=65，x=75, 答：每千克水果售价为65元或75元. 五、根与系数的关系 x,x是一元二次方程 ax+bx+c=0的两个根，则 x+x = x·x= 边讲边练 1.设α、β是一元二次方程x2＋2x-1＝0的两个根，则αβ的值是（ D ） A. B. C. D. 2.若关于x的一元二次方程x2-2x+ m＝0有一个解为x＝-1，则另一个解为（ C ） A. B. C. D. 3.已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6-2x的两个根，则x1-x1x2＋x2的值是（ D ） A. B. C. D. 4.已知x1、x2是方程x2＝2x＋1的两个根，则的值为（ D ） A. B. C. D. 学生活动2： 1、学生对一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、根的判别式、一元二次方程的运用、根与系数的关系（韦达定理）知识梳理。 2、一边梳理知识一边进行正对性练习，做到讲练结合。活动意图说明： 作为一章的复习课，本节课设置的内容较为全面细致，重点突出，课堂容量相对来说较大，学生的分组讨论从时间上来看较为紧张，希望一节课完成上面所有的任务，是比较困难的，因此，建议根据学生状况灵活选择知识点1、2、3作为1课时；知识点4、5作为第二课时。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列方程中，是一元二次方程的是( C ) A．2x＋3y－5＝0 B．x2＋＝1 C．x2－1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 2．已知一元二次方程x2＋kx＋3＝0的一个根为3，则k的值为( A ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 3．用配方法解方程x2＋4x－5＝0时，原方程应变形为( C ) A．(x－2)2＝1 B．(x－4)2＝11 C．(x＋2)2＝9 D．(x＋4)2＝21 4．关于x的一元二次方程－kx2－6x＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( D ) A．k＞－3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞－3且k≠0 5．若关于x的方程xm＋1－3＝0是一元二次方程，则m＝ 1 ． 6．若关于x的方程x2＝a－1有实数根，则a的取值范围为 a≥1 ． 7．方程(x＋3)2＝x＋3的根是 x1＝－3，x2＝－2． 8．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ． 选做题： 9.请阅读下列材料． 问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝. 把x＝代入已知方程，得化简，得y2＋2y－4＝0. 故所求方程为y2＋2y－4＝0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． (1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数 解：(1)设所求方程的根为z， 则z＝－x，所以x＝－z. 把x＝－z代入已知方程，得z2－z－2＝0， 故所求方程为z2－z－2＝0. (2)设所求方程的根为t， 则t＝(x≠0)，所以x＝(t≠0)． 把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得a＋b·＋c＝0. 去分母，得a＋bt＋ct2＝0. 若c＝0，则有ax2＋bx＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，所以c≠0. 故所求方程为ct2＋bt＋a＝0(c≠0)． 【综合拓展类作业】 10.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25，－16，第一次按键后，A，B两区分别显示25＋a2，－16－3a. (1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)从初始状态按4次后，得A，B两区显示的代数式的和为1，求a的值． 解：(1)25＋a2＋a2＝25＋2a2， －16－3a－3a＝－16－6a. 答：A区显示的结果为(25＋2a2)，B区显示的结果为(－16－6a)． (2)依题意，得25＋4a2＋(－16－12a)＝1， 化简，得a2－3a＋2＝0，解得a1＝2，a2＝1. 答：a的值为2或1. 11．关于x的一元二次方程x2－(k－3)x－2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值． (1)证明：∵b2－4ac＝[－(k－3)]2－4×1×(－2k＋2) ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝k－3 x1x2＝－2k＋2， ∴x1＋x2＋x1x2＝(k－3)＋(－2k＋2)＝2， 解得k＝－3. 12.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？ 解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个， 依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000， 整理，得x2－360x＋32 400＝0， 解得x1＝x2＝180. 180＜200，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 12 个人． 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为 9 ． 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 且 关于的方程的解是，均为常数，且，则的解是 ，. 已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？ A. B. C. D. 已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；当时，其中正确的是 A. B. C. D. 用求根公式解一元二次方程时，，的值是 A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，， 已知一元二次方程的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是 A. B. C. D. 或 选做题： 9.若，是方程的两根，则 3 ， 1 ；若，是方程的两根，则-5 ， 6 ；
已知，，满足，，求正整数的最小值，
【解析】解：，是方程的两根，
，；
，是方程的两根，
，，
，， 【综合拓展类作业】 9.一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
该商店每天的利润能否达到元？ 解：设当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．由题意得，
，
，．
每件盈利不少于元，
当时，，
故不合题意，舍去，
，
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
该商店每天的利润不能达到元，
理由如下：
设当每件商品降价元时，商店每天销售利润为元，由题意得，
．
，
当时，有最大值是，
．
该商店每天的利润不能达到元． 11.最近上海疫情爆发，防护服极度匮乏，上海许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条某种防护服生产线．经调查发现：条防护服生产线最大产能是件天，每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少件天．设该工厂共引进条生产线．
每条生产线的最大产能是 件天用含的代数式表示．
若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 解：依题意得：每条生产线的最大产能是 件天．
故答案为：．
，
整理得：，
解得：，．
又要尽量控制成本，
．
答：该工厂引进了条生产线．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第二章
课标要求 了解一元二次方程的概念。能灵活运用直接开平方、配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程。会根据根的判别式判断一元二次方程解的情况。知道一元二次方程根与系数的关系，并运用它来解决实际问题。能运用一元二次方程的知识来解决实际问题。
内容分析 一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学占有重要地位，通过对一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又为以后学习可化为一元二次方程的高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外学习一元二次方程对于其他学科有重要的意义。本章总体设计思路：问题情境---建立模型--拓展运用。首先通过情境问题建立有关方程，并归纳一元二次方程的概念，然后探索其解法，并在实际情境中加以运用，切实提高学生的运用能力和运用意识。
学情分析 本章知识面对初三学生，他们思维活跃，模仿能力强。已经开始占主导地位的抽象的逻辑思维逐步向经验性、理论性转化，观察、想象、记忆能力迅速发展，能超出直接的感知事物提出提出假设和进行推理、论证，很大程度上需要感性经验的支持。一元二次方程是刻画数量关系最重要的模式，一元二次方程的解法和实际运用，是初中阶段的核心内容，前面学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、平方根、因式分解等知识，对于解方程的基本思路比较熟悉，按照这种思路学习一元二次方程的解法。本章还要讨论根有关的几个问题（根的判别式、根与系数的关系）。在此基础上学习利用一元二次方程模式解决简单的实际问题。本章学习内容也为后续学习二次函数打下基础。
单元目标 （一）教学目标知识与技能：能够运用一元二次方程解决实际问题，能够根据具体问题检验结果的合理性，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力。了解一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、分解因式的方法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。经历在具体情境中估算一元二次方程解得过程，发展估算意识和能力。会不解方程过程根的判别式判断一元二次方程解的情况，了解根与系数关系。过程与方法经历有具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系最有效的数学模型。情感态度与价值观能用一元二次方程解决实际问题，在解决问题的过程中体会数学的运用价值，教学重点、难点重点；运用知识、技能解决实际问题。难点：解题分析能力的提高。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识一元二次方程12用配方法解一元二次方程13用公式法解一元二次方程14用因式分解法解一元二次方程15一元二次方程根与系数的关系16运用用一元二次方程（1）17运用用一元二次方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识一元二次方程1.在具体问题中，通过观察、抽象，归纳出一元二次方程的概念，从中体会方程的模型思想；2.能判断一个方程是否为一元二次方程，并能理解一元二次方程的相关概念.1、学生回顾旧知。2、对问题1、2、3进行小组合作探究，列出方程并化简成一般形式。3、根据一元一次方程的概念类比出一元二次方程的定义，认识二次项、一次项、常数项及它们的系数。4、自学例题1、2，重点是根据多项式乘多项式的计算把方程化简成一般形式。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程的定义。环节3：典例精析。用配方法解一元二次方程1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.1、回顾旧知。2、探究用直接开平方求一元二次方程的解.3、探究用配方法解一元二次方程。4、解决前节课梯子底部滑动问题。5、运用知识解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究用配方法解一元二次方程。环节3：典例精析。用公式法解一元二次方程1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用公式法解一元二次方程；3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.1、回顾知识。2、用配方法解一元二次方程。3、用配方法推导一元二次方程的求根公式。4、讨论与0的关系。5、用判别式与根的情况解决实际问题。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程求根公式的推导。环节3：典例精析用因式分解法解一元二次方程能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法2、经历探索用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，体会转化、降次的思想。体会解决问题方法的多样性。3、培养学生探索精神、分析问题并解决问题的能力；培养学生的合作交流能力。1、知识回顾。2、讨论三种方法的解一元二次方程的优劣，3、生成因式分解法解一元二次方程的方法、根据和步骤。4、用因式分解法解一元二次方程。5、师生共同完成例题的学习，提高学生的综合运用能力。环节一：回顾旧知。环节二：探究因式分解法解一元二次方程。环节3：典例精析一元二次方程根与系数的关系1）理解并掌握根与系数的关系：（2）能运用根与系数的关系：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．（3）经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力.1、学生回答所提4个问题。2、填写表格。3、利用求根公式验证猜想的正确性。4、利用韦达定理直接说出两根之和及两根之积。5、通过例题1前3个问题的学习，模仿代入思路完成其他4个练习。6、利用韦达定理已知一根求另一个根及未知系数。环节一：回顾旧知。环节二：探究一元二次方程根与系数的关系。环节3：典例精析用一元二次方程解决实际问题(1)知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。复习梯子下滑问题。学生先独立思考，写出解题步骤，再小组讨论，得到不同的解题方法。完成问题1、2、3、4.3、教师指导学习例题1.4、小组讨论完成例题2.环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决面积问题环节三：运用一元二次方程解决线段长度问题用一元二次方程解决实际问题(2)1、会根据题意找出销售利润、增长率问题中蕴含的基本等量关系。 2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。 3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。1、回顾列方程解应用题的一般步骤。回顾成本价、进货价、标价、定价、销售价、成交价的联系与区别。2、完成填空题。3、完成表格的填写。4、列出方程并求出方程的解。5、小组讨论，由于设未知数不同列出的方程也不相同。回顾增长率的有关问题。6、小组合作完成问题1的探究，7、独立完成跟踪练习。环节一：回顾旧知。环节二：运用一元二次方程解决利润问题环节三：运用一元二次方程解决增长率问题回顾与思考1、理解解一元二次方程的方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；3、能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．1、学生回顾本章内容，整理出本章的架构，理清各板块内容间的联系.2、学生对一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、根的判别式、一元二次方程的运用、根与系数的关系（韦达定理）知识梳理。3、一边梳理知识一边进行正对性练习，做到讲练结合。环节一：知识架构。环节二：知识梳理。
《一元二次方程》单元教学设计
活动一：回顾知识
活动二：探究一元二次方程的定义
任务一：认识一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务二：用配方法解一元二次方程
活动二：探究用配方法解一元二次方程
一
元
二
次
方
程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：用公式法解一元二次方程
活动二：探究一元二次方程求根公式
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究因式分解法求解一元二次方程
任务四：用因式分解法解一元二次方程
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
任务五：一元二次方程根与系数的关系
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探究用一元二次方程解答面积问题
任务六：用一元二次方程解决实际问题(1)
一
元
二
次
方
程
活动三：探究用一元二次方程解答线段长度问题
活动一：知识回顾
任务七：用一元二次方程解决实际问题(2)
活动二：探究用一元二次方程解答利润问题
活动三：探究用一元二次方程解答增长率问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
