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北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷（B）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（ ）
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
4．某种商品经过两次涨价，每件零售价由200元涨至242元，求平均每次涨价的百分率．设平均每次涨价的百分率为x，则可列方程为( )
A．200(1＋x)2＝242 B．242(1－x)2＝200 C．242(1－2x)＝200 D．200(1＋2x)＝242
5．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AB的长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，则△ABC的周长为( )
A．16 B．16或18 C．17 D．18
6．已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则＋的值是( )
A．1 B. C．－1 D．－
7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
9. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为
A. B. C. D.
10．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式(m2－2m－2 022)(－n2＋2n＋2 022)的值为( )
A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020
填空题（每小题4分共28分）
11．若关于x的方程xm＋1－3＝0是一元二次方程，则m＝________．
12．若关于x的方程x2＝a－1有实数根，则a的取值范围为________．
13．某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 ．
14.等腰△ABC的底和腰分别是一元二次方程X-5X+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
15.已知关于的方程ax+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
16．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 ．
17．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
解答题（6×3=18分）
18.解方程： (1)2x2－5x－3＝0； (2)x2－2x＝2x－1；
用配方法求－3x2－6x＋1的最大值．
20.小华在解方程，解答过程如下；
解，移项，得第一步
两边开平方，得第二步
所以第三步
小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程．
解答题（8×3=24分）
21．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25，－16，第一次按键后，A，B两区分别显示25＋a2，－16－3a.
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，得A，B两区显示的代数式的和为1，求a的值．
(2)△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求斜边AB上的高CD的长．
23.某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．
解答题 （10×2=20分）
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出件．
每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
25．请阅读下列材料．
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.
把x＝代入已知方程，得()＋－1＝0.
化简，得y2＋2y－4＝0.
故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)．
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A D D B B C B
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 1 a≥1 10%． 9 且 （50﹣x）（300+10x）＝16000． 3
解答题
18.解：
19．解：－3x2－6x＋1
＝－3(x2＋2x)＋1
＝－3(x2＋2x＋1－1)＋1
＝－3(x＋1)2＋4，
∵－3(x＋1)2≤0，∴－3(x＋1)2＋4≤4，
∴－3x2－6x＋1的最大值为4.
小华的解答从第二步开始出错．
正确的解答过程为：
解，移项，得(x+6)=9，
两边开平方，得x+6=±3，
所以x=-3,x=-9
21.解：(1)25＋a2＋a2＝25＋2a2，
－16－3a－3a＝－16－6a.
答：A区显示的结果为(25＋2a2)，B区显示的结果为(－16－6a)．
(2)依题意，得25＋4a2＋(－16－12a)＝1，
化简，得a2－3a＋2＝0，解得a1＝2，a2＝1.
答：a的值为2或1.
解：当，，时，
或，
则原式；
中，，，，
根据勾股定理得：，
，
．
解：设每盏灯的进价为元．
依题意，列方程：．
解方程得：，舍去．
经检验，符合题意．
答：每盏灯的进价为元．
24解：设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要让利于顽客，
．
答：每件童装降价元时，能让利于顽客并且商家平均每天能赢利元．
设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无解，
不可能每天盈利元．
25．解：(1)设所求方程的根为z，
则z＝－x，所以x＝－z.
把x＝－z代入已知方程，得z2－z－2＝0，
故所求方程为z2－z－2＝0.
(2)设所求方程的根为t，
则t＝(x≠0)，所以x＝(t≠0)．
把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得a()＋b·＋c＝0.
去分母，得a＋bt＋ct2＝0.
若c＝0，则有ax2＋bx＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，所以c≠0.
故所求方程为ct2＋bt＋a＝0(c≠0)．
(1)∵a＝2，b＝－5，c＝－3，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)
＝49＞0，
∴x＝eq \f(5±\r(49),2×2)＝eq \f(5±7,4)，
∴x1＝－eq \f(1,2)，x2＝3.
(2)移项，得x2－4x＝－1.
配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，
即(x－2)2＝3.
两边开平方，得x－2＝±eq \r(3)，
即x－2＝eq \r(3)或x－2＝－eq \r(3).
∴x1＝2＋eq \r(3)，x2＝2－eq \r(3).
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北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷（A）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A．2x＋3y－5＝0 B．x2＋＝1 C．x2－1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．已知一元二次方程x2＋kx＋3＝0的一个根为3，则k的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
3．用配方法解方程x2＋4x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x－2)2＝1 B．(x－4)2＝11 C．(x＋2)2＝9 D．(x＋4)2＝21
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0 D．﹣a（x﹣2）2＝0
5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，配方后可得（ ）
A．（x+8）2＝73 B．（x+4）2＝25 C．（x+8）2＝55 D．（x+4）2＝7
6．如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（ ）
A．x2﹣17x﹣16＝0 B．2x2+17x﹣16＝0 C．2x2﹣17x﹣16＝0 D．2x2﹣17x+16＝0
7.已知关于x，y的方程组，以下结论：①当K=0时，方程组的解也是方程x-2y=-4的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④当y-x>-1时，k>1其中正确的是
A. B. C. D.
8.用求根公式解一元二次方程时，，的值是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
9.若、为方程的两个实数根，则的值为( )
A. -13 B. 12 C. 14 D. 15
10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是( )
A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在
填空题（每小题4分共28分）
11．方程(x＋3)2＝x＋3的根是____________．
12．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是____________．
13．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________．
14.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
15．已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 ．
16. 若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．
17．如图，在一块长为22 m，宽为14 m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路(阴影部分)，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240 m2，则小路的宽为________m.
解答题（6×3=18分）
18.解方程：； 解不等式组．
当为何值时，关于的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
20.已知关于x的一元二次方程x2－2 x＋m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的最大整数值．
解答题（8×3=24分）
21.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
当a=6,b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．
22.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元
23.x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
解答题 （10×2=20分）
如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长(AB求AB与BC的长；
当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
25.“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C D D A C B A
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 x1＝-3，x2＝-2 k≤且k≠1 24 12 34 5 2
解答题
18..解：
解：根据题意得：
，
解得：，
即原方程为：，
解得：，．
解：∵一元二次方程x2－2 x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝8－4m＞0，解得m＜2.
∴实数m的最大整数值为1.
解：；
依题意有：，
将，，代入上式，得，
解得，舍去．
即正方形的边长．
22．解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个，
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000，
整理，得x2－360x＋32 400＝0，
解得x1＝x2＝180.
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
23解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
24.解：
或，
则，；
由题意得
，舍去
则时，．
存在点，使是等腰三角形．
分情况讨论：
当时，秒；
当即为对角线中点时，，．
，，
秒
当时，作于，
，，
，
秒；
综上，可知当为秒或秒或秒时，是等腰三角形．
25解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2＝256，
解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；
②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，
整理，得：9x2﹣50x+25＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
∵要尽量减少库存，
∴x＝5．
答：售价应降低5元．
，
，
，
，
，
，；
，
由得：，
由得：，
所以不等式组的解集为．
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