【高中数学人教B版（2019）同步练习】 2.2..4平均值不等式及其运用（含答案）

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【高中数学人教B版（2019）同步练习】
2.2..4平均值不等式及其运用
一、单选题
1．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 （　　）
A． B．
C． D．
2．已知成等差数列， 成等比数列.则的取值范围是 (　　）
A． B．
C． D．
3．点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的导数为，，对于任意实数x，有，则的最小值为(　　)
A．3 B． C．2 D．
二、多选题
5．已知 ， ，且 ，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
6．已知点 在线段 上运动，则 的最大值是　 　．
7．已知 ，且 ，则 的最小值是　 　．
8．若 ，则变量 的最小值是　 　
9．已知正数x、y、z满足x+y+z=1，则的最小值为　 　
10．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 年 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量 万件与投入实体店体验安装的费用 万元之间满足 函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为 万元，产品每 万件进货价格为 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是　 　万元．
四、解答题
11．
（1）若 ，求函数 的最小值，并求取到最小值时 的值；
（2）若直线 过点 ，求 的最小值，并求取到最小值时 、 的值．
12．已知实数a>0，b>0且a+b+8=ab.
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值.
13．某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本 （元）与月垃圾处理量 （吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？
14．已知 为正数，且满足 ．证明：
（1） ；
（2） ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平均值不等式
2．【答案】C
【知识点】平均值不等式
3．【答案】C
【知识点】平均值不等式
4．【答案】C
【知识点】平均值不等式
5．【答案】A,B,C
【知识点】平均值不等式
6．【答案】
【知识点】平均值不等式
7．【答案】4
【知识点】平均值不等式在函数极值中的应用
8．【答案】
【知识点】平均值不等式在函数极值中的应用
9．【答案】36
【知识点】平均值不等式在函数极值中的应用
10．【答案】
【知识点】平均值不等式；平均值不等式在函数极值中的应用
11．【答案】（1）解： ， ，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最小值为2，此时 ；
（2）解： ， ，当且仅当 时，即 时取等号，此时， ，
所以 的最小值为8，此时 .
【知识点】平均值不等式在函数极值中的应用
12．【答案】（1）解：由 ，
整理得
所以 ，当 时取得最小，故 最小值为16
（2）解：由 ，得 ，由 ， 得 .
所以
当且仅当 ，即 时，取得等号.
所以a+2b的最小值为
【知识点】平均值不等式
13．【答案】解：由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为
．
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元
【知识点】平均值不等式在函数极值中的应用
14．【答案】（1）解： ，
，
又由均值不等式，得 ，
则 ，
，即 （当且仅当 时等号成立）．
（2）解：法一： ，
，则
，
又由均值不等式得 ，同理可得 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，得证．
法二： ，得
（当且仅当 时等号成立）．
【知识点】平均值不等式
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