2023-2024学年北京理工大附中高一（下）月考数学试卷（6月份）(含答案)

2023-2024学年北京理工大附中高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则下列向量中与垂直的是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则对应的点位于复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，向量，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.中，角、、的对边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 无解
6.如图，中，，，为中点，为中点，用和表示为，则( )
A.
B.
C.
D.
7.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
8.已知函数的最小正周期为，则下列叙述中正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
D. 函数在区间上的最大值为
9.已知中，是边上的点，平分，且面积是面积的倍．若，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.函数，则( )
A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数
C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数，则______．
12.能说明“在中，若，则”为假命题的一组，的值是______．
13.已知矩形中，，，为边的中点，为边上的动点可以与端点重合，则 ______，的最大值为______．
14.已知函数的部分图像如图所示．
函数的最小正周期为______．
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若函数为偶函数，则的最小值是______．
15.关于函数，下列说法中正确的有______．
的最小正周期是；是偶函数；
在区间上恰有三个解；的最小值为．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ判断函数的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，，为某公园景观湖畔的两条木栈道，，现拟在两条木栈道的，处设置观景台，设，，单位：百米．
若，求的值；
已知，记，试用表示路线的长，并观察长的最大值．
18.本小题分
在中，，
Ⅰ求的值；
Ⅱ再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：边上的中线长为．
19.本小题分
对，定义．
求的最小值；
，有恒成立，求的最大值；
求证：不存在，，且，使得为恒定常数．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ，
所以函数的最小正周期，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
Ⅱ由题意可知：在上有解，
所以，，
因为，
所以，
故当，即时，
取得最大值，且最大值，
，
即实数的取值范围为．
17.解：因为，可得：，，
，在中，由余弦定理可得：，
所以可得：，
整理可得：，解得；
在中，，
由正弦定理可得：，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以长的最大值为．
18.解：Ⅰ因为在中，，，
由正弦定理可得；
Ⅱ若选条件：，又，，
由余弦定理得，所以，解得，，与矛盾，故不存在；
若选条件：；
由余弦定理得，所以，解得，可得，所以，，，
故的面积为．
若选条件：边上的中线长为，
由余弦定理得，所以，解得，
边上的中线长为则由余弦定理可得，解得，所以，，
故的面积为．
19.解：
，
令，，
则，对称轴，
所以．
，
因为，，
所以，
所以，
所以的最大值为．
证明：令，下面比较在，，处的函数值，
有，
由，
可得，均为偶数，进而，，
于是，
考虑到，
于是，
此时为偶数且为奇数，进而，
即，矛盾，
综上所述，不存在符合题意的，．
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