2023-2024学年浙江省衢州市高二（下）质检数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年浙江省衢州市高二（下）质检数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设随机变量，则的数学期望为( )
A. B. C. D.
3.已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，，是的中点，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知曲线：，曲线：，两曲线在第二象限交于点，，在处的切线倾斜角分别为，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列论述正确的是( )
A. 样本相关系数时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
B. 由样本数据得到的经验回归直线必过中心点
C. 用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差
D. 研究某两个属性变量时，作出零假设并得到列联表，计算得，则有的把握能推断不成立
10.已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则( )
A. 双曲线的焦距为
B. 点到渐近线的距离为
C. 的最小值为
D. 若，则的面积为
11.已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为______．
13.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人则次传球的不同方法总数为______用数字作答；次传球后球在甲手中的概率为______．
14.如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点不包括端点将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等比数列，，，成等差数列，且．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在棱长为的正四面体中，是的中点，，分别在棱和上不含端点，且平面．
证明：平面；
若为中点，求平面截该正四面体所得截面的面积；
当直线与平面所成角为时，求．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，求的最大值．
18.本小题分
某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有张互不相同的牌，乙方有张互不相同的牌，其中的张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”游戏规则为：
双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；
若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；
最后剩一张牌幸运数字牌时，持有幸运数字牌的那方获胜．
假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同奖励规则为：若甲方胜可获得积分，乙方胜可获得积分．
已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记为甲乙两方抽牌次数之和．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求，；
为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点当与原点重合时，面积为．
求的方程；
当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，即，
又，，解得或舍，
，
；
令，
，
，
两式作差得：．
．
16.解：证明：因为平面，平面，
平面平面，
所以，又面，面，
所以平面；
因为，，为，，中点，取中点，
则平面即为平面截正四面体的截面，
且为边长是的正方形，
所以；
取中点，连接，过点作的垂线，垂足为，连接，
易知，平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，，
所以，，
所以，即．
17.解：由题意可知：，
当时，，可知在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
因为，由可得：
当时，可知在上单调递增，
且趋近于时，趋近于，与题意不符；
当时，可知在上单调递减，在上单调递增，
则，可得，
且，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以当，时，的最大值为．
18.解：甲乙两方抽牌次数之和为，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，
从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，
则；
前次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为，
甲方在第次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，
所以，；
记乙方获胜为事件，则乙方获胜的概率为，
事件可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，
其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为，
若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，
则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为，
则，解得，
乙方获得积分的期望为，
则甲方获胜的概率为，
甲方获得积分的期望为，
因为，所以我会选择乙方进行游戏．
19.解：当与原点重合时，可设，则有、，
且，，
则，
即，，则，
即有，由离心率为，即，
则，，即有，
解得，，
即的方程为；
设直线方程为，令，有，即，
设点、，则，
联立直线与椭圆方程：，消去有，
有，，
，得，
为，
令，，
由中，得，
即，
则
，
当且仅当时等号成立，
故周长的最小值为．

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