2023-2024学年重庆市部分学校高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年重庆市部分学校高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B.
C. D. 或
3.如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.如图，某人在点处测得某塔在南偏西”的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
6.已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”如图，在堑堵中，，且下列说法错误的是( )
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过点作于点，过点作于点，则面
8.古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数已知，，，与交于点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数，，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若，则的最小值为
D.
10.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积不变
B. 直线与直线的所成角的取值范围为
C. 直线与平面所成角的大小不变
D. 二面角的大小不变
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于点中心对称
B. 的值域为
C. 满足在区间上单调递增的的最大值为
D. 在区间上的所有实根之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为______．
13.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若最小正周期为，则______．
14.，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的角、、所对的边分别是，，，设向量，，．
若，判断的形状；
若，边长，，求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥 中，底面为平行四边形，，平面，为的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ设，，求点到平面的距离．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，且，．
若，求边上的角平分线长；
求边上的中线的取值范围．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面，，且是边长为的等边三角形，．
Ⅰ若是线段的中点，证明：面；
Ⅱ求二面角的平面角的余弦值．
19.本小题分
若，，是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：；存在异于点的点使得：与同向且，则称点，，为可交换点组已知点，，是可交换点组．
求；
若，，，求的坐标；
记，，中的最小值为，若，，点满足，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，，
所以，
由正弦定理，得，所以，
又，为三角形内角，所以或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形；
因为，由题意，
故，即，
由余弦定理，又，，
故，则，
故，则，或舍，
所以．
16.证明：Ⅰ连结交于点，底面为平行四边形，
可得：是的中点，为的中点．
所以：
平面，平面
所以：平面
Ⅱ由，，，
利用余弦定理得：
解得：
因为：平面
解得：
利用中位线得：
设：点到平面的距离，
根据
所以：
解得：
17.解：因为，根据正弦定理得，所以，
即，可得，
即，整理得，
因此，可得，所以，结合，得，
根据余弦定理，可得，即，
将代入，化简得，
所以，
可得，结合，，解得；
因为是的中点，所以，
则，
因为，，由余弦定理得，
即，所以．
根据正弦定理，得，
即，
因为，可得，
所以，可得
所以，即，可知边上的中线的取值范围为．
18.证明：Ⅰ取的中点，连接，，
，，，
面，
又，，
为平行四边形，
，面------------分
解：Ⅱ连接，过在面内作的垂线，垂足为
连接面，，
又，，面，
为二面角的平面角，
在中，，，
在直角中，，，，
．
二面角的平面角的余弦值为----------分
19.解：因为与同向，设，
则，
，
又因为，，且，
所以，所以，
由，得，
又因为，所以，
所以；
由知，，
所以，
因为，，，，
所以，，
则，解得或舍，
所以的坐标为；
设的中点为，则，
又因为，所以，即为的重心，
又因为是正三角形，点是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，如图所示，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，
所以，的值分别为，
当时，，
所以，其取值范围是，
所以的取值范围是．
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