2023-2024学年陕西省咸阳实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省咸阳实验中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为( )
A. 向东南走 B. 向东南走 C. 向西南走 D. 向西南走
3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角、所对的边分别是、，且，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A. 若存在实数，使成立，则
B. 平面内任意向量都可以表示为，其中，
C. 不一定在平面内
D. 对于平面内任意向量，使的实数，有无数对
7.已知平面向量，当最小时，，则的夹角为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 同向且等长的有向线段表示同一向量
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. 若，，，是平面内不共线的四点，且，则四边形是平行四边形
10.已知单位向量的夹角为，则下列结论正确的有( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 若，则
D. 若，则
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且则以下命题正确的有( )
A. 若，则：：：：
B. 若：：：：，则为的重心
C. 若为的内心，则
D. 若，，为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在直角梯形中，，，，，点在边上，且，则 ______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为______满足即可
14.在中，是线段上的动点与端点不重合，设，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在中，分别是，的中点，，，．
用，表示向量，，；
求证：，，三点共线．
16.本小题分
单位向量，满足．
求与夹角的余弦值；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量．
Ⅰ若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
Ⅱ若，求向量在上的投影向量的坐标．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ已知是的中线，求的最小值．
19.本小题分
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设．
当时，求四边形的面积；
若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，分别是，的中点，
，
，
；
证明：，
，
，
，
与共线，又与有公共点，
故B，，三点共线．
16.解：因为，，
所以，即，
则，
则，
即与夹角的余弦值；
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，
即，
由知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，
即实数的取值范围为．
17.解：Ⅰ当时，，得，此时反向，
因为与的夹角为钝角，所以且不反向共线，
所以且，所以且，
所以实数的取值范围为；
Ⅱ因为，所以，即，
所以，解得，所以，
所以在上的投影向量为．
18.解：因为，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，且，
所；
因为，可得，当且仅当时等号成立，
，
又因为为的中线，
，即，
整理得，
即的最小值为．
19.解：连结，则，
所以四边形的面积为
；
由题意，在中，，
由正弦定理得，所以，
同理在中，，，
由正弦定理得，所以，
所以；
令，
所以，
当时，即，的最大值为．
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