2023-2024学年内蒙古名校联盟高一（下）质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年内蒙古名校联盟高一（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.九棱锥共有( )
A. 条棱 B. 条棱 C. 条棱 D. 条棱
2.半径为的球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.若，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
4.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，设，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若正六棱台的高为，且，，则该正六棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( )
A. B. C. D.
7.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，，分别为，的中点，过的截面与交于点，与交于点，，若截面，且截面，四边形是正方形，则( )
A. B. C. D.
8.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且，，则
D. 若，是异面直线，，，且，，则
10.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知三棱锥的所有棱长都是，，分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则( )
A. 三棱锥的体积是
B. 三棱锥内切球的半径是
C. 长度的取值范围是
D. 三棱锥外接球的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量若，则 ______；若，则向量与的夹角为______．
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为______．
14.如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上一动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中，．
求该几何体的体积；
求该几何体的表面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，分别为，的中点，且．
证明：．
若，求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在六面体中，，正方形的边长为，，．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正切值．
求多面体的体积．
18.本小题分
在中，．
证明：为的重心．
设，．
证明：为定值．
求的最大值，并求此时的长．
19.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面．
证明：平面平面．
若，求二面角的正切值．
答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：长方体的体积为，
半圆柱的底面积为，
半圆柱的体积为，
该几何体的体积为．
长方体去掉上底面后的表面积为，
由得半圆柱的底面积为，
半圆柱的侧面积为，
所以该几何体的表面积为．
16.证明：连接，，
因为底面是菱形，所以，
因为，分别为，的中点，所以，
所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：因为，是的中点，所以，
又，，、平面，
所以平面，
即点到平面的距离为，
因为平面，所以，所以，
所以，
而，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，解得，
故点到平面的距离为．
17.解：证明：，平面，平面，
平面，
在正方形中，，又平面，
平面，平面，
，平面，平面，
平面平面．
连接，延长，交于点，
正方形的边长为，，．
，，
，，，
，平面，
为直线与平面所成的角，
在中，由，解得，
即直线与平面所成角的正切值为．
连接，则，
易证平面，
多面体的体积．
18.证明：设的中点为，则，
因为，所以，可得，
由此可得、、三点共线，即点在的中线上．
设的中点为，的中点为，同理可证点在的中线、上，
所以点为三条中线的交点，即为的重心．
解：证明：由知，因为，所以．
因为，所以，
设，则，，
由余弦定理，得，，
则．
设，
可得，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
所以．
19.证明：在直三棱柱中，平面，，平面，
则，，所以点的曲率为，
所以，因为，所以为正三角形，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以，
因为，、平面，
所以平面．
证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
由知平面，则平面，
又平面，所以平面平面．
解：取的中点，连接，则，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，
所以平面，又平面，所以，
过作的垂线，垂足为，连接，则，
又，、平面，所以平面，
又平面，，
所以为二面角的平面角的补角，
设，，则，，，
由等面积法可得，则，
则，故二面角的正切值为．
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