2023-2024学年福建省莆田二中高一（下）段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省莆田二中高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中，，三点恰好共线，则( )
A.
B.
C.
D.
5.“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底在同一平面内的两个测量基点与，测得，，，在点测得该雕塑顶端的仰角为，则该雕塑的高度约为参考数据：取
A. B. C. D.
6.如图，为的外接圆的圆心，，，为边的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为．
A. B. C. D.
8.如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，当变化时，对角线的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是复数，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则或 B. 若且，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若：：：：，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则只有一解
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，的角平分线交于，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为实数，并且的实部与虚部相等，则 ______．
13.设正方形的边长为，动点在以为直径的圆上，则的取值范围为______．
14.在中，角，，所对的边分别为，，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值及在方向上投影向量的坐标．
若，求的值．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
若，求，的值；
求的值；
求．
17.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．
求角的大小；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．
18.本小题分
如图，中，角，，的对边分别为，，，．
求的大小；
若内点满足，求的大小．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
若，求；
若，，求．
20.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，即，
所以，，
所以，
而，
故在方向上投影向量的坐标为．
由题意知，，
因为，所以，即，解得．
16.解：，
又，
．
，，，，
．
连接，设的夹角为，
，，
且，
，
，
，，
又
，
，
即．
17.解：，
由正弦定理得，
从而有，
，
，
，
；
由已知得，，
，，
，
，
，
由余弦定理得，，
即，解得，
的周长为．
18.解：因为，
所以，
由余弦定理，得，
因为，
所以．
设，，
因为，，
所以，
在和中分别应用正弦定理，得，，
因为，
所以，
又因为，
所以，可得，
所以，
所以，
所以．
19.解：由题意得，
在中，由余弦定理得，得，
由正弦定理，得，
故；
在中，由余弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
所以，代入式得，得，
则，即．
20.解：由已知可得：，
所以，
又，所以，
所以，
所以
；
，
所以，，，
所以与共线的单位向量为和；
，
因为为的相伴特征向量，
所以，解得，
所以，
所以，
，
假设在的图象上是否存在一点，使得，
由，，
可得，
化简得，
令，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以，因为，
所以当且仅当且时，成立，
此时，，即，即点，
所以的图象上是存在一点，使得．
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