2023-2024学年吉林省长春十一中高一（下）第一学程数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省长春十一中高一（下）第一学程数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，，，则的最大角与最小角之和是( )
A. B. C. D.
3.设，，向量，且，，则( )
A. B. C. D.
4. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
6.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形
C. 顶角为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度轨道高度是指卫星到地球表面的距离为将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线经线所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在中，为上一点，且，若面积是，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的三个内角，，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使满足条件的唯一确定的是( )
A. ，，
B.
C. ，，
D.
10.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标若在坐标系中，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与的夹角的余弦值为
11.已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是( )
A. B. 四边形的面积为
C. 该外接圆的直径为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为______．
13.如图，在中，，点在边上，且，，，则 ______．
14.如图，直线与的边，分别相交于点，设，，，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求；
求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
的内角，，对的边分别为．
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点．
，求的值；
若，求的最小值．
18.本小题分
如图，在中，是线段上一点不包括端点，连接，．
若，求线段的长；
若，求；
设，试求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得，所以，
所以．
由，
设向量与的夹角为，则．
16.解：由已知条件及正弦定理得，
而，
所以，
即，所以；
如图，过作于，
由知，
又，所以，，
在中，，，则，
在中，，
在中，由余弦定理：．
17.解：因为，
化简得，
因为，
所以，，；
因为，，
所以
，
所以，则，又，
所以，
设，则，
则，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
所以的最小值为．
18.解：当时，，是直角三角形，
故，
又，
所以，
则为直角三角形，
所以；
因为，
所以，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得；
由条件知，
所以，
由，可得，
由于，
则，
故，即的取值范围为
19.解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
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