2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第二次段考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第二次段考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是( )
若，，则；
若，，则；
若，，则；
若，，则．
A. B. C. D.
3.若圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.如图是正方体或四面体，，，，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( )
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 长方体是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 圆柱的所有母线长都相等
10.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则( )
A. B. 角的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
11.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，，分别是，的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 当为中点时，
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，则与间的距离为______．
13.如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为______．
14.已知点是的外心，，设，且实数，满足，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，，且，．
求和；
若，，求向量和向量的夹角的大小．
16.本小题分
已知，．
求的值；
若，，求的值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面；
18.本小题分
已知长方体，，分别为和的中点，．
求三棱锥体积；
求证：平面平面．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的余弦值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
首页，；
因为，，
设向量和向量的夹角为，
则，
因为，所以，
即向量和向量的夹角的大小为．
16.解：由，，，可得，
所以．
由，，可得，
故．
从而
由，可得．
17.证明：设交于，连接，因为为正方形，
所以为中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
因为为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
18.解：由题意可知：平面，，为的中点，
，，
，
．
证明：如图，取的中点，连接G、．
又点是的中点，
且，
四边形为平行四边形，则点、、、四点共面．
．
又，分别是线段，的中点，
、
又，，且平面，平面，
平面平面．
19.Ⅰ证明：在中，，
为中点．，
平面底面，
且平面底面，且平面，
底面，又平面，
；
Ⅱ在直角梯形中，，，
为中点，，
四边形为平行四边形，
，
，
由Ⅰ可知平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．
则，，，，
是中点，，
又，
设平面的法向量为，
则
令得，，
则，
则，
由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
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