射洪中学高2022级高二（下）期末模拟考试
数学参考答案
1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，即.令，则函数在上单调递减.因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，所以，故，
即实数的取值范围为.故选：C.
9.AC 10.BCD 11.ACD
【详解】由函数，可得其定义域为.A中：当时，，可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以A正确；B中：由，
当时，，故在上恒成立，故函数在上单调递增，无极值点，所以B错误； C中：设切点为，则，
所以曲线在点处的切线方程为，又切线过原点，所以，即，即，所以，设（且），则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，，且的极大值为， 由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，可得，所以，所以，所以C正确；D中：要使有两个零点，则方程有两个解，即方程有两个解，
即方程有两个解，设，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，又因为，当时，，当时，，
所以，解得，所以D正确.故选：ACD.
12. 13.54
14.【详解】，则，
若函数存在唯一极值点，则在上有唯一的根，所以由可得，则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点（非切点），又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，，当时，，则函数得图象如右图所示：
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），因此，实数的取值范围是.故答案为：.
15.【详解】（1）（1）列联表，如图所示：
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以,.
16.(1)60（2）2.02
【详解】（1）由题意可知：，则的展开式通项为，令，解得，
所以展开式中的常数项为.
（2）因为展开式的通项为（且），
根据题意得，即①.
的展开式中的系数为.
将①变形为代入上式得，解得或，
所以或，则，
所以.
17.(1)增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为
(2).
【详解】（1），该函数的定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，
所以，，故实数的取值范围是.
18.(1)更适宜，；(2)分布列见解析.
【详解】（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是z关于x的线性回归方程为，所以y关于x的回归方程为.
（2）依题意，X的可能值为，，
，所以X的分布列为：
0 1 2 3
19.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1
【详解】（1）设，则，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.因此，即；
（2）由泰勒公式知①，于是②，由①②得，，
所以，即；
（3）由（2）知，所以当时，，
由此可知，当时，有对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或.
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，
即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，综上，的最大值是1.射洪中学高2022级高二（下）期末模拟考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1.下列求导数运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.某集团从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（ ）.
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，则在（ ）
A.上单调递增 B.处有最小值
C.上有三个零点 D.上单调递增
5.对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ）
单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量件 84 83 78 m
A.65 B.67 C.73 D.75
6.2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
7.已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A.20 B.18 C.8 D.6
8.若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（ ）
A.任取一个零件，它是次品的概率是0.0525
B.任取一个零件，它是次品的概率是0.16
C.如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为
D.如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额
10.已知，则下列命题正确的是（ ）
A.；
B.；
C.
D..
11.已知函数（且），则（ ）
A.当时，曲线在点处的切线方程为
B.函数恒有1个极值点
C.若曲线有两条过原点的切线，则
D.若有两个零点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 .
13.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”.
14.若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本省各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差.
附：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
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16.(15分)（1）已知的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知，，的展开式中含项的系数为，含 项的系数为，求的近似值.（精确到0.01）
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17.(15分)已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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18.(17分)红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，；
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
(2)现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
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19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值.
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