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第二章 实数 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）实数4的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的算术平方根 B．是的平方根
C．是的平方根 D．
4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长界于两个相邻的整数之间，这两个整数分别是（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
5．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（ ）次操作后变为1．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知实数a满足，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
8．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
10．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（天津市南开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算的结果为 ．
12．（23-24八年级下·湖北随州·期末）写出一个使二次根式有意义的非负整数x的值 ．
13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，，，用“”表示的大小关系为 ．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为 ．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级下·湖北随州·期末）计算题：
(1)
(2)
18．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）求下列x的值．
(1)
(2)
19．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中．
20．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知：，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
21．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)填空：________；
(2)若，求x的值．
22．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题：
(1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____．
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____；
②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
23．（24-25九年级上·全国·假期作业）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)___________的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________；
(3)通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中
24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题：
；
；
；
(1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）；
(2)应用：利用这一规律计算：；
(3)拓展：．
25．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 实数 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）实数4的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵
∴实数4的平方根是，
故选：A．
2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则
，
解得，
故选：A．
3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的算术平方根 B．是的平方根
C．是的平方根 D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．
【详解】解：∵，
∴是的平方根，
故选：．
4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长界于两个相邻的整数之间，这两个整数分别是（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【答案】C
【分析】本题主要考查估计无理数的大小，先根据面积求出正方形的边长，再估计结果．
【详解】解：2×4=8，
∵，
∴，
故选：C．
5．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减乘除运算法则验证算式的正误即可．
【详解】解：A．，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．，故不符合题意；
故选：C．
6．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（ ）次操作后变为1．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确表示不大于x的最大整数．
表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
【详解】解：，
∴对1000最少进行4次操作后变为1，
故选：C．
7．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知实数a满足，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【详解】本题考查的是二次根式有意义的条件，直接化简求值即可求得结果，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【解答】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
两边同时平方：，
∴，
故选：B．
8．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长，
重叠部分也是正方形，
三个小正方形的面积分别为48，32，8，
三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
．
故选：A．
9．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键．
【详解】解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
……
以上规律为：，
当时，，
故选：B．
10．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据新定义的含义结合可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解，可得非负整数的数量，结合平方根的含义可判断④，从而可得答案．
【详解】解；∵，
∴3是81的四次方根；故①符合题意；
任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意；
∵
，
∴的三次方根是；故③符合题意；
∵
∴，
而，
∴，
∴非负整数有个，其中的平方根是，
∴整数的二次方根有4051个．故④不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活运用，理解题意是解本题的关键．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（天津市南开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式运算，利用平方差公式展开后，由二次根式的性质即可求解；掌握，（）是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故答案：．
12．（23-24八年级下·湖北随州·期末）写出一个使二次根式有意义的非负整数x的值 ．
【答案】2（还可以填0或1）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，则，
∴，
∵为非负整数，
∴x的值可以是0，1或2，
故答案为：2（还可以填0或1）．
13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得的值．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
．
解得：．
故答案为：．
14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，，，用“”表示的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算和实数的大小比较，正确得出的范围是解答本题的关键．根据的范围，得出，，三个数的范围，据此得出大小关系．
【详解】解：，
，
，
即；
，
，
，
即；
，
，
即．
，，的大小关系为：，
故答案为：．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了垂线段最短、利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握垂线段最短是解题关键．设正方形的对角线、相交于点，则根据题意可得，，，利用三角形的面积公式、平方根解方程可得，再根据垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，由此即可得解．
【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点，
由题意知，，，，
，
解得，或（舍去）
由垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，
则的最小值为．
故答案为：5．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ．
【答案】203
【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可．
【详解】解：，，，，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级下·湖北随州·期末）计算题：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先根据二次根式的性质化简和计算二次根式的除法，然后计算加减；
（2）根据二次根式的乘法和平方差公式求解，然后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）求下列x的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根、平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根的性质，
（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据立方根的定义求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘法运算，再合并，最后把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式；
20．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知：，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
【答案】(1)8
(2)
【分析】此题考查了二次根式的乘方和加减运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先求出，然后利用完全平方公式代数求解即可；
（2）首先得到，结合（1）的，然后利用平方差公式代数求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
；
（2）∵
∴
∴
．
21．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)填空：________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键．
（1）先判断与的大小，然后根据题中的新规定运算即可；
（2）分两种情况讨论：当时或当时，分别计算即可．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；
（2）当时，即时，，
可得，解得；
当时，即时，，
可得，解得（舍去），
所以，的值为5．
22．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题：
(1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____．
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____；
②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
【答案】(1)
(2)①；②x=9；③△ABC 的面积为84
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用；
（1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解；
（2）①设，根据，即可求解；
②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可；
③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵三角形边长依次是、、，
∴ ，
∴ ；
（2）①，，
；
②，，，
，
，
解得：；
③由②得 ： ，
．
23．（24-25九年级上·全国·假期作业）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)___________的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________；
(3)通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：，是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质，，可得，故可解答；
（2）二次根式的性质为，故可解答；
（3）利用完全平方公式将根号下因式分解，再利用二次根式的性质化简，即可解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
所以小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质，
故答案为：；
（3）当时，，
∴原式
．
24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题：
；
；
；
(1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）；
(2)应用：利用这一规律计算：；
(3)拓展：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；数字的变化类，分母有理化，
（1）从数字找规律，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行即可解答．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）
，
（3）解： ，
……
∴
25．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化：
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2），
，
而，，
，
；
（3）由，，得，
，
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
