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第一章 勾股定理 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．1，1， C．6，8，10 D．1，2，3
【答案】C
【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A．，，不是正整数，因此，，不是勾股数；
B． 不是正整数，因此1，1，不是勾股数；
C．，因此6，8，10是勾股数；
D．，因此1，2，3不是勾股数；
故选C．
2．（23-24八年级下·湖北随州·期末）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可．
【详解】解：由勾股定理可得：，
故选：C．
3．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，注意计算的准确性即可．
【详解】解：观察题图，得，
由勾股定理，得，，
，
故选：D.
4．（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．
根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，数轴交点为，
由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为，
，
又个单位长度代表，
，，
根据勾股定理可得，
中，．
故选：．
5．（23-24九年级上·河南周口·期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
∴，
故选B．
6．（天津市南开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．14 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
；
故选：C．
7．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A．5cm B．4cm C．cm D．15cm
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等．根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：如下图，画出钢管的侧面展开图，作点关于右侧关口的对称点，连接，
∵钢管横截面的周长为18cm，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离为cm．
故选：C．
8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
（负值舍去），
的周长，
故选：C．
9．（2024·湖北·模拟预测）如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系，由“”证明，即可判断①；得出，，由勾股定理得出，再由三角形三边关系即可判断②；由勾股定理计算即可判断③．
【详解】解：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，故②正确；
，故③错误，
综上所述，正确的有①②，
故选：A．
10．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、勾股定理，过点B作，且，作于点，交的延长线于点，证得，推出，可得，求出即可求解，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过点B作，且，作于点，交的延长线于点，如图：
,
,
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
设，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
的最小值，
故选B．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ．
【答案】100
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在中，
∵斜边，
，
故答案为：100．
12．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
在中，，则由勾股定理可得，
故答案为：．
13．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据题意得出，进而根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：依题意，
∵
∴
∴，
故答案为：．
14．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果．
【详解】解：，
；
由折叠知，
则；
在中，，
即，
解得：；
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
15．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论．
【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长；
当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长，高为，
由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度，
筷子露在收纳盒外的长度最短；
筷子露在盒外的部分的取值范围是，
故答案为：．
16．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠可求出，利用勾股定理可求出，由，知当D、F、H、C四点共线时，最大，即可求解．
【详解】解：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当D、F、H、C四点共线时，最大，最大值为，
即的最大值是12．
故答案为：12．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，，，求的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：；
（）在中，，，边上的高，求边的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理证明即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（）在，中，根据勾股定理得：
，，
∴，
∴；
（）在，中，根据勾股定理得：
，
，
∴．
19．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？
【答案】小汽车超速了
【分析】根据题意，运用勾股定理可求出的长，由此可求出小汽车的速度，与限速比较即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，即，，，
∴在中，，
∴小汽车的速度为，
∵，
∴小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键．
20．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务：
(1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______．
(2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______．
(3)根据（2）中的结果，写出证明过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法：
（1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可；
（2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ；
（3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得，
故答案为：；
（2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为；
根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为，
故答案为：，；
（3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下：
A B C
图（1） 4 4 8
图（2） ______ 9 13
图（3） 9 ______ 34
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】
（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明：
（1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求得到，即；
（3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4；
图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25；
故答案为：4；25；
（2）由（1）所求可得，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，由题意得，尺，尺，，
∴，
∴尺或尺（舍去），
∴木杆折断之前有尺，
22．（2024·吉林长春·二模）【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．
(1)直接写出的面积，___________．
(2)【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）．
(3)【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)的面积．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题；
（1）直接根据割补法求解即可；
（2）根据 三边的长分别为，，，可得画出图形即可；
（3）根据题意画出图形，利用割补法可得，求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）∵，
∴如图：即为所作：
（3）如图③，的面积．
23．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ；
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）；
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据图形列出代数式即可；
（2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案；
（3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即，
图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即，
故可得等式；
（2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即
图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即，
故可得到等式，
故；
（3）解：①，，
；
②，在直角中，，，
在直角中，
24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究]
（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________；
②据此求出的最小值；
[类比]
（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________．
【答案】（1）①，；②；
（2）
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键．
（1）①根据图形，运用勾股定理即可求解．
②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解．
（2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解．
【详解】和是直角三角形，，
在中，，，
，
在中，，，
，
故答案为：，．
②如图所示，过点做的平行线交延长线于点，
∴，，
当点，，三点共线时，有最小值，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
（2）如图所示，，，，，，设，则，
∴，，
当，，三点共线时，的值最小，
∴由上证明可得，，，
∴在直角中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
25．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：．
【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长．
【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________．
【答案】证明见解析；；
【分析】（1）要证，由于，是等边三角形，故，，只需要再证明夹角即可．
（2）要求的长，根据已知条件以及第一问的启示，需要构造三角形，过点C作且，连接，．证明，可将的长转化为在中求的长，利用勾股定理即可解决．
（3）根据前两问的启示，已知，因此需要同样构造三角形，将角和并在一起构造直角三角形．作，且，连接，然后利用三角形全等，以及角度的等量替换即可解决问题．
【详解】（1）证明：，是等边三角形，
，，，
，
．
（2）解：过点C作且，连接，，则，.
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，
．
．
为直角三角形，在中
,
，
，
（3）解：作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
，且，,
，
，
，
在，又，
为等腰直角三角形，，
设，由于，则，
，，
又，
，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的全等，勾股定理，根据图中已知条件，尤其已知条件中直角的信息，构造适当的三角形，掌握转化和化归思想是解决问题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 勾股定理 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．1，1， C．6，8，10 D．1，2，3
2．（23-24八年级下·湖北随州·期末）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．18
3．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河南周口·期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（天津市南开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．14 B． C．7 D．
7．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A．5cm B．4cm C．cm D．15cm
8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（2024·湖北·模拟预测）如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
10．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ．
12．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ．
13．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ．
14．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．
15．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ．
16．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，，，求的长．
18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：；
（）在中，，，边上的高，求边的值．
19．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？
20．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务：
(1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______．
(2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______．
(3)根据（2）中的结果，写出证明过程．
21．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下：
A B C
图（1） 4 4 8
图（2） ______ 9 13
图（3） 9 ______ 34
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】
（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
22．（2024·吉林长春·二模）【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．
(1)直接写出的面积，___________．
(2)【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）．
(3)【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积．
23．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ；
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）；
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ．
24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究]
（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________；
②据此求出的最小值；
[类比]
（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________．
25．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：．
【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长．
【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________．
