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第十一章 平面直角坐标系 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，下列各坐标表示的点位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（ ）
A．南偏西 B．南偏西
C．北偏东 D．北偏东
3．（23-24八年级下·福建三明·期末）把点向下平移3个单位得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知点M在第四象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，当轴时，点在点的右侧，且，两点间的距离是，那么的算术平方根是（ ）．
A． B．2 C． D．4
6．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，一个点在第一象限及轴、轴上运动，且每秒移动一个单位，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（ ）
A．当时，点P在y轴上 B．点 P 的纵坐标是2
C．点P到y轴的距离是1，则 D．它与点表示同一个坐标
8．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
10．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则m的取值范围是 ．
12．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系的坐标轴上有一点M，到x轴的距离为4．则点M的坐标为 ．
13．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，且直线轴，则m的值为 ．
14．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
15．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为 ．
16．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（21-22七年级下·陕西商洛·期末）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标．
(1)点A在y轴上；
(2)点A到x轴的距离为
18．（22-23七年级下·全国·课后作业）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．
(1)如果用有序数对（3，2）表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________；
(2)秋千的位置是（4，5），请在图中标出来；
(3)旋转木马在大门以东500m，再往北200m处，请在图中标出来．
19．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有个．
(1)请画出向上平移3格再向右平移2格所得；
(2)请以点为坐标原点建立平面直角坐标系（在图中画出），然后写出点、的坐标；
(3)求出面积．
20．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是，白③的位置是．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置．
(1)请根据题意，画出平面直角坐标系并直接写出白②的坐标；
(2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标．
21．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，将平移，使点与点重合，得到，点，的对应点分别为、．
(1)画出并写出点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若直线经过点且与轴垂直，点在直线l上，且的面积等于1，直接写出点的坐标．
22．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足．
(1)的值为？
(2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
23．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， ，将 平移到，点A的对应点，且，交y轴于点E．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求证：点E是 的中点；
(3)若的面积为24，求点 D的坐标．
24．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．
(1)则______，______，______；
(2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标；
(3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标．
25．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，其中m为常数，我们称点P与点Q是友谊点．例如：当时，点的友谊点为．
(1)当时，点的友谊点Q的坐标为_______；
(2)若点P在y轴上，且它的友谊点Q的坐标为 ，
①求的面积；
②若存在一点，且，使的面积不大于的面积，试求出x的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 平面直角坐标系 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，下列各坐标表示的点位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题主要考查坐标系象限中点的坐标的特点，熟练掌握不同象限点的坐标的特点是解决本题的关键．第一象限坐标，第二象限坐标，第三象限坐标，第四象限坐标．据此即可解答．
【详解】解：A、位于第一象限，不符合题意；
B、位于第二象限，不符合题意；
C、位于第四象限，符合题意；
D、位于第三象限，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（ ）
A．南偏西 B．南偏西
C．北偏东 D．北偏东
【答案】D
【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，根据图示给的信息，作答即可．
【详解】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东；
故选：D．
3．（23-24八年级下·福建三明·期末）把点向下平移3个单位得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，进行求解即可．
【详解】解：把点向下平移3个单位得到的点的坐标是，
故选C．
4．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知点M在第四象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．
根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点到轴的距离为3，到轴的距离为4，得
，，
由点位于第四象限，得
，，
点的坐标为，
故选：D．
5．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，当轴时，点在点的右侧，且，两点间的距离是，那么的算术平方根是（ ）．
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，算术平方根，根据轴，可得，根据点在点的右侧，且，两点间的距离是，可得，得出的值，进而求的算术平方根，即可求解．
【详解】解：∵轴，
∴，解得：
∵点在点的右侧，且，两点间的距离是，
∴，解得：
∴
∴的算术平方根是，
故选：D．
6．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，一个点在第一象限及轴、轴上运动，且每秒移动一个单位，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据题意可知质点移动的速度是个单位长度／秒，到达时用了秒，到达时用了秒，从到有四个单位长度，则到达时用了秒，依次类推即可求得答案．
【详解】由题意可知质点移动的速度是个单位长度／秒，
到达时用了秒，
到达时用了秒，
从到有四个单位长度，则到达时用了秒，
到时用了秒，
从到有六个单位长度，则到时用了秒，
以此类推到用了秒，
到用了秒，
到用了秒，
到用了秒，
故第秒时质点到达的位置为．
故选；A
7．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（ ）
A．当时，点P在y轴上 B．点 P 的纵坐标是2
C．点P到y轴的距离是1，则 D．它与点表示同一个坐标
【答案】D
【分析】此题考查了点的坐标特征，根据点在坐标系中的特征进行解答即可．
【详解】解：A．当时，点在y轴上，故选项正确，不符合题意；
B．点 的纵坐标是2，故选项正确，不符合题意；
C．点到y轴的距离是1，则，故选项正确，不符合题意；
D．它与点不表示同一个坐标，故选项错误，符合题意．
故选：D．
8．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故选：C．
9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【分析】先根据平方根的定义得到，即，由点在直角坐标系内的坐标特征得到且，求出的值，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：，即，
点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，
且，
，则，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，平方根的定义，点到坐标轴的距离，解二元一次方程组．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
10．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．
【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故选：D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是象限点的坐标特征，根据第一象限内点的坐标特征得到，然后解不等式组即可．熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
【详解】∵点在第一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系的坐标轴上有一点M，到x轴的距离为4．则点M的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，利用y轴上点的横坐标为零是解题关键．根据y轴上点的横坐标为零解答即可．
【详解】解：由题意可得点M在y轴上，
∴点M的纵坐标为零，
又∵到x轴的距离为4，
∴点M的坐标为或．
故答案为：或．
13．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，且直线轴，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标特征、解一元一次方程，由平行于轴的两个点的横坐标相等即可得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵，，且直线轴，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】或．
【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：
①在轴上，在轴上；
则横坐标为0，纵坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
②在轴上，在轴上．
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
故答案为：或．
15．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直与坐标轴的直线上点的坐标特征，解一元一次方程，解题的关键是掌握垂直于x轴的直线上的点，纵坐标相等．
根据题意得出当轴时，取最小值，则，则当点A、B、C三点在同一条直线上时，推出轴，列出方程，求出a的值，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴点A在直线上，点B在直线上，
∵C是x轴上一点，
∴当轴时，取最小值，则，
∴当点A、B、C三点在同一条直线上时，的值最小时，
此时，则轴，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
16．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形，解题的关键是理解“变换”；根据“变换”的定义，分别求出E，F，可知轴，再根据三角形面积公式求解即可；
【详解】，经过“变换”的对应点分别是E，F，
，
轴，
，
，
，
解得或，
故答案为：或；
三、解答题（9小题，共68分）
17．（21-22七年级下·陕西商洛·期末）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标．
(1)点A在y轴上；
(2)点A到x轴的距离为
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据y上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．
（2）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解a的值，再求解即可．
【详解】（1）解：点在y上，
，
解得，
故，
则．
（2）点A到x轴的距离为5，
，则：
或，
解得或，
或，
点A的坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
18．（22-23七年级下·全国·课后作业）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．
(1)如果用有序数对（3，2）表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________；
(2)秋千的位置是（4，5），请在图中标出来；
(3)旋转木马在大门以东500m，再往北200m处，请在图中标出来．
【答案】(1)（2，4） （5，1）
(2)见解析
(3)见解析
【详解】3．（1）（2，4） （5，1）
（2）（3）如图所示
19．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有个．
(1)请画出向上平移3格再向右平移2格所得；
(2)请以点为坐标原点建立平面直角坐标系（在图中画出），然后写出点、的坐标；
(3)求出面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点的坐标为，点的坐标为．
(3)
【分析】本题主要考查了平移作图，写出平面直角坐标系中点的坐标，
（1）先作出点、、向上平移3个单位，再向右平移2个单位的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，写出点和的坐标即可；
（3）利用割补法求出的面积即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系， 即为所求作的三角形，如图所示：
（2）平面直角坐标系见图，点的坐标为，点的坐标为；
（3）．
故答案为：．
20．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是，白③的位置是．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置．
(1)请根据题意，画出平面直角坐标系并直接写出白②的坐标；
(2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)或（答案不唯一）
【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形；
（1）根据白①的位置可以找到原点位置，并可建立平面直角坐标系，根据平移的性质可求出白②的坐标；
（2）根据黑棋在某个方向上连成四子，即可求出甲所下黑棋的位置
【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示：
将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置，
白②的坐标是．
（2）结合图形可知，甲的落子位置为或或（答出2个即可）
21．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，将平移，使点与点重合，得到，点，的对应点分别为、．
(1)画出并写出点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若直线经过点且与轴垂直，点在直线l上，且的面积等于1，直接写出点的坐标．
【答案】(1)图形见解析，，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和图形的平移：
（1）点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，同理可得到，；
（2）；
（3）根据题意可知的边上的高，由，得．
【详解】（1）点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，
点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，
点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，
依次连接点，，，即为所求．
（2）．
（3）根据题意可知的边上的高．
由，得
．
所以，点的坐标为或．
22．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足．
(1)的值为？
(2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
【答案】(1)20
(2)2.4
【分析】此题主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）利用非负性即可求出，即可得出结论；
（2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
，，
，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
，，
由运动知，，，
，
，
，
，
与的面积相等，
，
，
存在时，使得与的面积相等．
23．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， ，将 平移到，点A的对应点，且，交y轴于点E．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求证：点E是 的中点；
(3)若的面积为24，求点 D的坐标．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、坐标与图形、平移性质、三角形的面积公式，灵活运用相关性质解决问题是解答的关键．
（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可；
（2）利用平移性质得到点的对应点D的坐标为，利用中点坐标公式得到线段中点的横坐标为0，即中点在y轴上，进而可得结论；
（3）先求得中点，连接，利用平移性质得到，则，进而利用坐标与图形性质以及三角形的面积公式列方程求得即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∴，；
（2）证明：∵ 平移到，点的对应点C的坐标为，
∴点的对应点D的坐标为，
∴线段中点的横坐标为，即中点在y轴上，
∵交y轴于点E，
∴点E是 的中点；
（3）解：∵，，
∴中点E的坐标为，即，
连接，如图，
由平移性质得，
则，即,
∴，解得，
∴点D坐标为
24．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．
(1)则______，______，______；
(2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标；
(3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标．
【答案】(1)5，4，3
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】本题考查了算术平方根的的非负性及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键．
（1）根据非负数的性质进行解答即可；
（2）根据三角形的面积等于3，得，求解即可；
（3）由（1）可知，，过点作轴，轴，根据，平分四边形的面积，可求得，即：，再根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
，，，
故答案为：5，4，3．
（2）由（1）可知，，
∵三角形的面积等于3，
∴，则
解得：或，
∴点的坐标为或；
（3）由（1）可知，，
过点作轴，轴，则，，，，
则，，
∴
，
∵平分四边形的面积，
∴，即：，
∴，即：，
∵点为中点，
∴点的坐标为：，
即：点的坐标为．
25．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，其中m为常数，我们称点P与点Q是友谊点．例如：当时，点的友谊点为．
(1)当时，点的友谊点Q的坐标为_______；
(2)若点P在y轴上，且它的友谊点Q的坐标为 ，
①求的面积；
②若存在一点，且，使的面积不大于的面积，试求出x的取值范围．
【答案】(1)点Q坐标为
(2)①；②当x的取值范围为，且时，存在一点，使的面积不大于的面积
【分析】本题主要考查了图形与坐标，一元一次不等式的应用等知识．掌握分类思想是解题的关键．
（1）根据友谊点的定义把代入即可得出答案．
（2）①根据友谊点的定义以及点在y轴上点的特点，求出点P和点Q的坐标，再根据三角形的面积计算即可． ②分四种情况，当时，当时，点A在y轴左侧，当时，点A在y轴左侧，当时，点A在y轴右侧，分别画出图形，根据的面积不大于的面积列出关于x的一元一次不等式，分解求解即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，点的友谊点Q的坐标为
即点坐标为，
故答案为：．
（2）①若点P在y轴上，设P点坐标为，则且它的友谊点Q坐标为，
又友谊点Q坐标为．
∴，解得：，
∴,
∴P点坐标为，Q坐标为．
∴．
②当时，点P的坐标是，
，
∴的面积不大于的面积；
当时，点A在y轴左侧，如图1，
∴
∵的面积不大于的面积，
∴，解得
∴；
当时，点A在y轴左侧，如图2
∵，
∴
∵的面积大于的面积，
∴，解得
∴
当时，点A在y轴右侧，如图3，
∵的面积大于的面积，
∴，解得
∴
综上所述：当的取值范围为时，存在一点，使的面积不大于的面积．
