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第二章 轴对称图形 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·山西晋城·二模）年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】根据轴对称图形的概念，D选项所示的图形左右两边对折能够重合，
因此是轴对称图形，
故选：D．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，
故选：A．
3．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，据此解答即可．
【详解】解：依题意，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点
故选：A．
4．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，
∴；
故选B．
5．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了与角平分线线有关的内角和计算以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和可得出，最后利用角的和差关系即可得出的度数．
【详解】解：∵是等边三角形，为角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，点F是的中点，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
故选：B．
7．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可．
【详解】解：∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∵，平分，
∴，
∴
故选：C
8．（2024·云南昆明·二模）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到闸机的通道宽度．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则中，，，
，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
闸机的通道宽度为，
故选：B．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．
【详解】解：根据题意，可知平分，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据得，得到，结合，可判断①；根据得,无法确定，可判定②错误；根据，得，过点，垂足分别为G，H，结合平分得；结合,得到；结合,得到；继而得到，利用等腰三角形的三线合一性质，可判定③正确；
作平分交于点G，结合，得到，证明得到，结合，等量代换可得
，可判定④正确．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵平分交于点D，平分交于点E，
∴，
故①正确；
若，
∴,无法确定，
故②错误；
∵ ，
∴，
过点，垂足分别为G，H，
∵平分，
∴；
∴,
∴；
∴,
∴；
∴，
∴，
故③正确；
作平分交于点G，∵，
∴，
∵
∴，∴，
∵，
∴，
∴④正确．
故选C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·江苏宿迁·一模）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据等腰三角形的两腰相等，结合三角形的三边关系，求解即可．
【详解】解：当2为腰长时：，不能构成三角形，不符合题意；
∴6为腰长，
∴第三边的长度为6；
故答案为：6．
12．（23-24八年级上·广东江门·期末）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
【答案】6
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．
过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．
【详解】解：过作于，
平分，，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
13．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据，即可．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
由作图方法可知，平分，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：40．
15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点D、E、F．若，，则 ．
【答案】66
【分析】本题主要考查了三角形的外角定义以及性质，等边对等角，对顶角相等，根据三角形的外角定义以及性质可得出，，可得出，根据对顶角相等得出，即，再根据等边对等角得出，即可得到，代入已知条件即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．，
∵，，
∴，
故答案为：66．
16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设，则度数为 ．
【答案】22.5或45或67.5
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，翻折变换．根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
【详解】解：由折叠得：，，
分三种情况：
当时，如图：
，
是的一个外角，
，
；
当时，当和位于射线的同侧时，如图：
，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或，
故答案为：22.5或45或67.5．
17．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由折叠可知：，
当时，
∵，
∴，
∴，
解得（不存在）；
当时，
∴，
解得，
即；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或.
18．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的全等，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含30°角直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出， 则根据等腰三角形的内角和， 可求出的度数 ．
【详解】解： 如图， 过作，交的延长线于，过作于，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
(1)格点（顶点均在格点上）的面积为______；
(2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的；
(3)在直线DE上画出点P，使最小．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的面积、平移作图、最短路径问题等知识点，掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可；
（2）先画出点A、B、C的对应点、、，连接即可得到；
（3）作点A关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求的点．
【详解】（1），
故答案为：5；
（2）如图，即为所求：
（3）如图所示，点P即为所求，
20．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．
(1)若，则________；
(2)若，的周长为12，求的周长．
【答案】(1)5
(2)21
【分析】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的基本作图方法，得出垂直平分．
（1）根据垂直平分线的性质进行解答即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为12，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：根据解析（1） 可知：，
∵的周长为12，
∴，
即．
∵，
∴的周长．
21．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线
（1）根据角平分线的性质可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证；
（2）由（1）可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足．
(1)的度数为______，的度数为______；
(2)若的周长为，求的长．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】（1）
解：，
是的垂直平分线，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
故答案为：，；
（2）
的周长为，
，
．
23．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)．理由见解析
【分析】（1）由，平分，可得，即，根据，求解即可；
（2）由平分，可得，则，，由，，可得，进而结论得证．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)当或或时，是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识．
（1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形；
（2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形；
（3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，则，即，∴；
②当时，则，即，∴；
③当时，则，即，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
25．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
【答案】(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质得，所以，根据三角形外角的性质得，再根据，所以，即可得出结论；
（2）根据等于三角形三线合一的性质得，所以，所以．
【详解】（1）为等腰三角形，
理由：的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2），
，
的周长是10，
，
．
26．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）是；（2）见解析 ； （3）；；；
【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；
（1）根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）在中，，，
∴，，，
∴与两个三角形的三个角分别相等，
∴与是“等角三角形”；
故答案为：是；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，，
为的等角分割线；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，如图3，时，
∵，
∴，
当时，，
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，时，
∵，
∴，，
∴,
若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意，
当是等腰三角形，如图4，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，，
设，
则，
则，
∵
∴，
解得，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”，而
∴，不合题意，
综上，的度数为；；；．
27．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到；
（2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到．
（3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：由①可知，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作于点M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接．
∵，,
∴，
∴，
∴
当的值最小时，即的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证： ．
（2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论：
（3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且， 于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
（1）利用已知条件，根据即可证明结论；
（2）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答；
（3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，推出可得，再证明，进而完成解答．
【详解】解：（1）在和中，
，
∴，
（2），理由如下：
如图：延长交延长线于F，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）．理由如下：
如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 轴对称图形 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·山西晋城·二模）年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
3．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
4．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·云南昆明·二模）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·江苏宿迁·一模）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ．
12．（23-24八年级上·广东江门·期末）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
13．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ．
14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ．
15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点D、E、F．若，，则 ．
16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设，则度数为 ．
17．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则 ．
18．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 °．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
(1)格点（顶点均在格点上）的面积为______；
(2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的；
(3)在直线DE上画出点P，使最小．
20．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．
(1)若，则________；
(2)若，的周长为12，求的周长．
21．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足．
(1)的度数为______，的度数为______；
(2)若的周长为，求的长．
23．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，判断与的位置关系，并说明理由．
24．（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
25．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
26．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
27．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
28．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证： ．
（2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论：
（3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且， 于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
