(共24张PPT)
第十八章 平行四边形
第7课时 矩形的判定
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．
课标要求
课前预习
矩形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：有一个角是__________的平行四边形是矩形 如：在 ABCD中，∠BAD＝__________， ∴四边形ABCD是矩形
判定2：对角线__________的平行四边形是矩形 在 ABCD中，______________， ∴四边形ABCD是矩形
判定3：有三个角是______的四边形是矩形 如：在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝_____， ∴四边形ABCD是矩形
直角
90°
相等
AC＝BD
直角
90°
课堂讲练
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例1（判定1） 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为斜边AB上一点，过点M分别作MD∥BC交AC于点D，ME∥AC交BC于点E.求证：四边形DMEC是矩形．
图1
证明：∵MD∥BC，ME∥AC，
∴四边形DMEC是平行四边形．
又∠C＝90°，
∴四边形DMEC是矩形．
训练 1．如图2，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，F是边CD上一点，且CF＝AE，连接AF．求证：四边形AECF是矩形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AE∥CF.
又AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC＝BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB．∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
例2（判定2） 如图3，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE与DC相交于点O，连接DE.求证：四边形ACED是矩形．
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC．∴AD∥CE.
∵CE＝BC，AE＝AB，∴AD＝CE，AE＝DC.
∴四边形ACED是平行四边形．
又AE＝DC，∴四边形ACED是矩形．
能否通过“判定1”来进行证明？
训练 2．如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点C作CF⊥BD于点F，且BE＝CF．求证：四边形ABCD是矩形．
图4
图4
例3（判定3） 如图5，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．求证：四边形CDEF是矩形．
能否通过“判定1”来进行证明？
图5
证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEF＝∠DEA＝∠F＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．∴∠EDC＝∠DEA＝90°.
∴四边形CDEF是矩形．
训练 3．如图6，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
图6
1．（2023上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CD
B．AD＝BC
C．∠A＝∠B
D．∠A＝∠D
C
2．【传统文化】粤绣凝聚着历代艺人的智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
B
3．如图7，在四边形ABEC中，∠A＝∠B，点D，F分别在边AB，BE上，且CA＝CD＝EF．若∠ACD＝2∠BDF，判断四边形EFDC的形状，并说明理由．
图7
解：四边形EFDC是矩形．理由如下：
∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠A.
又∠A＝∠B，∴∠B＝∠CDA.
∴CD∥BE，即CD∥EF.
又CD＝EF，∴四边形EFDC是平行四边形．
∵∠ACD＝2∠BDF，∠CDA＝∠A，
∴2∠BDF＋2∠CDA＝180°.
∴∠BDF＋∠CDA＝90°.
∴∠CDF＝180°－（∠BDF＋∠CDA）＝
180°－90°＝90°.
∴四边形EFDC是矩形．
图7
4．【动点探究】如图8，在 ABCD中，AB＝6 cm，BC＝ 10 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
图8
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
图8
图8
（2）当AE＝________cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．
7
答图1
答图1
随 堂 测
1．下列说法正确的是( )
A．有一组对角是直角的四边形是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
D
2．如图1，在四边形ABCD中，已知OA＝OB＝OC＝4，若再添加一个条件后，四边形ABCD为矩形，则添加的条件可以是( )
A．CD＝4
B．CD＝2
C．OD＝2
D．OD＝4
图1
D
3．如图2①，为了研究特殊平行四边形，小贤用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D之间分别用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，使得AB⊥BC(如图2②)，观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC＝BD；③AC⊥BD.其中正确的是__________．(填序号)
图2
②
4．如图3，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB＋∠EBA＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°.
∴∠AEB＝180°－(∠EAB＋∠EBA)＝90°.
同理，∠F＝90°，∠H＝90°，∠DGC＝90°.
∴∠FEH＝∠AEB＝90°．∴四边形EFGH是矩形．(共21张PPT)
第十八章 平行四边形
第11课时 正方形的判定
理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
课标要求
课前预习
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正方形的判定 几何语言 图示
判定1：有一组邻边_________的矩形是正方形 在矩形ABCD中，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形
判定2：有一个角是_________的菱形是正方形 在菱形ABCD中，∠A＝90°， ∴四边形ABCD是正方形
相等
直角
对角线互相垂直的矩形是正方形吗？对角线相等的菱形呢？仿照上面的表格，写出你的结论．
课堂讲练
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例1（判定1） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形．
图1
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°.
又∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∴四边形CFDE是正方形．
训练 1．如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：四边形ABCD是正方形．
图2
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°．∴∠BAF＋∠DAF＝90°.
∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°.
∴∠ADE＋∠DAF＝90°．∴∠BAF＝∠ADE.
又AF＝DE，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴AB＝DA.
又四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．
例2（判定2） 如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE，连接CE，BF．求证：四边形BECF是正方形．
图3
证明：∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF.
又CF＝BE，∴BE＝CE＝CF＝BF.
∴四边形BECF是菱形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°.
∴∠EBF＝2∠EBC＝90°．∴四边形BECF是正方形．
训练 2．如图4，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）四边形EFGH是正方形吗？请说明理由．
图4
解：四边形EFGH是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）.
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE.
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝180°－∠B＝90°，
∴∠BEF＋∠AEH＝90°．∴∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是正方形．
（2）若正方形ABCD的边长为4 cm，且AE＝3 cm，则四边形EFGH的面积为________cm2.
10
图4
1．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是（ ）
B
2．【知识梳理】在平行四边形的复习课上，小明绘制了如图5所示的知识框架图，则箭头处可添加的条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等 B．②：对角互补
C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角
图5
B
3．如图6，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上．求证：四边形ADFE是正方形．
图6
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°.
由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝90°.
∴四边形ADFE是矩形．
由折叠的性质可知，AE＝EF．
∴四边形ADFE是正方形．
4．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB.
（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
图7
解：四边形ADCE是菱形．理由如下：
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DA＝DC.
∴四边形ADCE是菱形．
（2）当∠B＝________°时，四边形ADCE是正方形．
45
5．【推理能力】如图8，在Rt△CEF中，∠C＝90°，外角∠BEF和∠DFE的平分线交于点A，过点A分别作AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D.
（1）∠EAF＝________°.
图8
45
图8
（2）①求证：四边形ABCD是正方形；
答图1
证明：如答图1，过点A作AG⊥EF于点G.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°.
又∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，
AB⊥BE，AG⊥EG，AD⊥DF，
∴AB＝AG，AD＝AG．∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
答图1
随 堂 测
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1．满足下列条件的四边形是正方形的是( )
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形
A
2．在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果再添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．BC＝CD D．AC＝BD
C
3．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝4 cm，点E，F同时从O点出发，以0.5 cm/s的速度分别沿OA，OC向点A，C运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，当t＝________s时，四边形DEBF为正方形．
图1
4
4．如图2，在 ABCD中，BC＝AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE，AF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)当∠BCA＝_____时,四边形AECF是正方形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
又AB∥CD，即AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵BC＝AC，E是AB的中点，∴CE⊥AB.
∴∠AEC＝90°．∴四边形AECF是矩形．
90°(共26张PPT)
第十八章 平行四边形
第10课时 正方形的性质
理解正方形的概念；正方形既是矩形，又是菱形．
课标要求
课前预习
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正方形的性质 边：正方形的四条边都__________； 角：正方形的四个角都是__________ 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴____________________， _____________________________ _______________ 图示：
对角线：①相等；②互相垂直；③互相平分；④平分每一组对角 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC________BD，AC________BD，OA＝________＝________＝________，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
相等
直角
AB＝BC＝CD＝AD
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝
∠ADC＝90°
＝
⊥
OB
OC
OD
正方形的性质 对称性：正方形是__________图形，它有__________条对称轴
注：正方形既是矩形，又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质
轴对称
4
课堂讲练
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例1 （1）若正方形的边长为4 cm，则它的对角线长为________cm，周长为________cm，面积为________cm2；
（2）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC，
BD相交于点O，则△AOB是___________三角形．
图1
16
16
等腰直角
训练 1.（1）若正方形的面积是25 cm2，则它的边长是________cm，周长是________cm，对角线长是________cm；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且 BC＝BE，则∠BEC＝________°.
图2
5
20
67.5
例2 如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．试判断AE与BF之间的数量、位置关系，并说明理由．
图3
∴△ABE≌△BCF（SAS）.
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∴∠CBF＋∠AEB＝90°.
∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
图３
训练 2．如图4，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，∠1＝∠2，试判断△DEF的形状，并说明理由．
图4
解：△DEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°.
∴∠DCF＝90°.
图4
例3 如图5，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC相交于点E，连接DE.
（1）求证：△ABE≌△ADE；
图5
（2）若∠CBF＝20°，求∠AED的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝45°.
∵△ABE≌△ADE，
∴∠AEB＝∠AED.
∵∠AEB＝∠CBF＋∠BCE＝20°＋45°＝65°，
∴∠AED＝65°.
图5
训练 3．如图6，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
图6
证明：如答图1，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO.
∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
又AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
答图1
答图1
1．如图7，P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若△APB是等边三角形，则∠BPC＝（ ）
A．30°
B．60°
C．75°
D．90°
图7
C
图8
C
3．【操作探究】如图9，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具拉伸成为如图9①所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着又将这个活动学具拉伸成为如图9②所示的正方形，则此正方形的对角线AC的长为________．
图9
4．如图10，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积S＝________．
图10
4
图11
①②
随 堂 测
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1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
A
2．如图1，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝35°，则∠ANM的度数为( )
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
图1
B
3．如图2，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．若BE＝BD，则CE＝________．
图2
4．如图3，已知E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE＝AC.
(1)求∠E的度数；
图3
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°.
∵CE＝AC，∴∠E＝∠CAE.
∵∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°.
(2)若AB＝ cm，求△ACE的面积．
图3(共21张PPT)
第十八章 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定（一）——边
探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
课标要求
课前预行四边形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如：∵AB∥CD，__________， ∴四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD，AD∥BC
AB＝CD，AD＝BC
AB＝CD
课堂讲练
例1（判定1） 如图1，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图1
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD.
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
训练 1．如图2，在 ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上一点，且∠1＝∠2．求证：四边形AECF是平行四边形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥CE．
∴∠1＝∠EAF.
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EAF．
∴CF∥AE.
∴四边形AECF是平行四边形．
例2（判定2） 如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图3
训练 2．如图4，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图4
证明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD＝CB，AE＝CF.
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AB＝2AE，CD＝2CF.
∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
例3（判定3） 如图5，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图5
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD.
又AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
训练 3．（RJ八下P50题6）如图6，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图6
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥EF，且AD＝EF，BC∥EF，且BC＝EF.
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
1．（2023衡阳）如图7，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
图7
A．AD＝BC B．AB∥DC
C．AB＝DC D．∠A＝∠C
C
2．如图8，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间的枕木互相平行且长度相等就可以了．其依据是两条铁轨和夹在铁轨之间的两根枕木构成一个平行四边形，所以两条铁轨平行．这种判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据是____________________________________________.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
图8
3．（2023 广安）如图9，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图9
4．【推理能力】将两块大小相同的等腰直角三角板ABC和DEF按如图10所示的方式放置，组成四边形ABCF，两条直角边AC与DE重合．请尝试用不同的方法证明四边形ABCF是平行四边形．
图10
方法1
证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形，
∴AB＝CF，BC＝AF．
∴四边形ABCF是平行四边形．
方法2
证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形，
∴AB＝CF，∠BAC＝∠FCA＝90°．
∴AB∥CF.
∴四边形ABCF是平行四边形．
图10
方法3
证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠FCA＝90°，∠BCA＝∠FAC＝45°.
∴AB∥CF，BC∥AF．
∴四边形ABCF是平行四边形．
图10
随 堂 测
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
B
2．如图1，已知AB∥GH∥DC，AD∥FE∥BC，则图中平行四边形的个数为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
图1
C
3．如图2，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE.
求证：(1)△AFD≌△CEB；
图2
证明：∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
∴△AFD≌△CEB(SAS).
(2)四边形ABCD是平行四边形．
图2
证明：由(1)知，△AFD≌△CEB.
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．(共21张PPT)
第十八章 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
探索并证明三角形的中位线定理．
课标要求
课前预习
三角形的中线 三角形的中位线
定义 图示 定义 图示
连接三角形顶点和 它的对边中点的线段 连接三角形两边 中点的线段
注：任意一个三角形都有三条中线、三条中位线
课堂讲练
知识点1 三角形的中位线定理及其证明
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
例1 如图1，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，
连接FC，DC，AF.
……
请你完成证明过程．
图1
若将辅助线改为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC”，该如何证明三角形的中位线定理？
图1
知识点2 与三角形的中位线有关的证明与计算
例2 （2023 盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10 cm，则DE的长为________cm.
例3 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE．若∠CDE＝30°，则∠B的度数是（ ）
A．70°
B．60°
C．30°
D．20°
图2
5
B
训练 1．如图3，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
图3
（2）若AC＝13，BC＝12，则四边形DECF的周长为________．
（或：
25
图3
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥BC，
即DE∥CF，DF∥CE.
∴四边形DECF是平行四边形．）
1．（2023 金华）如图4，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点．若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB的长为________cm.
图4
8
2．如图5，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知△DEF的周长为40，则△ABC的周长为________．
图5
80
3．如图6，D，E，F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（ ）
图6
A．45° B．60°
C．75° D．80°
C
4．如图7，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是BC延长线上一点，且BC＝2CF，连接DE，DC，EF．请判断四边形DEFC的形状，并说明理由．
图7
5．如图8，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝40°，∠ACB＝80°.
（1）求证：△EFG是等腰三角形；
图8
（2）求∠FEG的度数．
图8
6．如图9，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是嵌在滑道AC里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，且P，Q分别是BE，DE的中点．当螺钉E在滑道AC里上下滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B．螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C．螺钉E上下滑动时，PQ的长度时而增大
时而减小
D．螺钉E上下滑动时，PQ的长度始终不变
图9
D
随 堂 测
1．如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，则下列说法正确的是( )
A．DE＝ AB
B．∠ADE＝∠C
C．∠A＝∠C
D．BC＝2DE
图1
D
2．如图2，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝60°，∠C＝80°，则∠ADE的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
图2
B
3．如图3，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点．若AB＝6，BC＝10，则OE＝________．
图3
5
4．如图4，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
图4
解：四边形EFGH为平行四边形．理由如下：
∴EF∥GH，EF＝GH．∴四边形EFGH为平行四边形．(共34张PPT)
第十八章 平行四边形
第十八章 章末复习
一、特殊四边形的判定与性质
性质 判定
平行四边形 边：对边平行且相等． 角：对角相等，邻角互补． 对角线：对角线互相平分 边：1.（定义）两组对边分别平行的四边形；
2．两组对边分别相等的四边形；
3．一组对边平行且相等的四边形．
角：两组对角分别相等的四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形
性质 判定
矩形 边：对边平行且相等． 角：四个角都是直角． 对角线：对角线互相平分且相等 角：1.（定义）有一个角是直角的平行四边形；
2．有三个角是直角的四边形．
对角线：对角线相等的平行四边形
性质 判定
菱形 边：对边平行且四条边都相等． 角：对角相等，邻角互补． 对角线：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 边：1.（定义）有一组邻边相等的平行四边形；
2．四条边都相等的四边形．
对角线：对角线互相垂直的平行四边形
性质 判定
正方形 边：对边平行且四条边都相等． 角：四个角都是直角． 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 边：有一组邻边相等的矩形．
角：有一个角是直角的菱形．
对角线：1.对角线互相垂直的矩形；
2.对角线相等的菱形
二、特殊四边形之间的关系
三、其他相关概念
1．两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．（注：两条平行线之间的垂线段的长度都相等）
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
3．直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1．已知 ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（ ）
A．4 B．12
C．24 D．28
B
2．如图1，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
图1
A．AB＝CD B．AO＝CO
C．AC⊥BD D．∠ABC＝∠ADC
C
3．（2023湘潭）如图2，菱形ABCD中，连接AC，BD，若 ∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
图3
A．20° B．60°
C．70° D．80°
C
4．如图3，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）
图3
A．120° B．105°
C．75° D．50°
C
5．（2023荆州）如图4，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝________．
图4
3
6．如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是________．
图5
20
7．如图6，在 ABCD中，点E在边BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F. 若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84°
B．96°
C．98°
D．106°
图6
B
8．如图7，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标是（12，13），则点B的坐标是（ ）
A．（0，5）
B．（0，6）
C．（0，7）
D．（0，8）
图7
D
9．（2023福建）如图8，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F. 若AE＝10，则CF的长为________．
图8
10
10．如图9，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，点B，C，E在同一条直线上．若BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为________．
图9
11．如图10，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接B′C.
当△CEB′为直角三角形时，BE的长为____________.
图10
12．如图11，在 ABCD中，连接BD，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E，F，连接CE，AF.
图11
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
答图1
证明：如答图1，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°.
答图1
（2）若AD＝13，AE＝12，AB＝20，求四边形AFCE的面积．
图11
13．如图12，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
图12
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
答图2
答图2
（2）若AB＝2，CE＝ ，求CG的长．
图12
答图3
14．（2023株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图13，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（ ）
A．3.5 cm
B．3 cm
C．4.5 cm
D．6 cm
图13
B
15．（2023河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．
以下是其作图过程．
（1）如图14①，作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）如图14②，连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）如图14③，连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
图14
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
C
16．（2023大庆）将两个完全相同的菱形按如图15所示的方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（ ）
图15
D
17．（2023潍坊）如图16，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（－2，0），∠AOC＝60°. 将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
图16
A
18．（2023哈尔滨）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF. 若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝___________．
46°或106°
19．【RJ八下P51题15改编】如图17，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB. 若四边形AEPH的面积为6，则四边形CFPG的面积为________．
图17
6
20．【RJ八下P68题13改编】如图18，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝9 cm，BC＝13 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s.
图18
（1）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
图18
解：由题意，得PD＝（9－t）cm，CQ＝2t cm.
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形．
∴9－t＝2t. 解得t＝3.
即当t的值为3时，四边形PDCQ是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，若四边形PDCQ是菱形，求AB的长．
图18
答图4(共20张PPT)
第十八章 平行四边形
第9课时 菱形的判定
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
课标要求
课前预习
返回目录
菱形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：有一组__________的平行四边形是菱形 如：在 ABCD中，AB＝______________， ∴四边形ABCD是菱形．
判定2：四条边_______的四边形是菱形 在四边形ABCD中，____________________， ∴四边形ABCD是菱形
判定3：对角线_________的平行四边形是菱形 在 ABCD中，__________， ∴四边形ABCD是菱形
邻边相等
BC（或AD）
相等
AB＝BC＝CD＝DA
互相垂直
AC⊥BD
课堂讲练
返回目录
例1（判定1） 如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形．
图1
证明：∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．∴∠DAC＝∠ACB.
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠BAC＝∠ACB．∴AB＝BC.
∴四边形ABCD是菱形．
训练 1．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，CE∥AB，CE＝ AB，连接BE．求证：四边形CDBE是菱形．
图2
例2（判定2） 如图3，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形．
图3
答图1
能否通过证明以四边形EFGH的四条边为斜边的四个直角三角形全等来证明四条边相等？
训练 2．如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：四边形ABCD是菱形．
图4
例3（判定3） 如图5，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠ABD＝∠BDC，AB＝CD＝ ，OA＝2，OB＝1．求证：四边形ABCD是菱形．
图5
训练 3．如图6，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形EBFD是菱形．
图6
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF．∴∠EDO＝∠FBO.
∵O是BD的中点，∴DO＝BO.
又∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）.
∴DE＝BF．∴四边形EBFD是平行四边形．
又EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．
1． (2023 深圳)如图7，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB沿BC方向向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
图7
B
2．如图8，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于 点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．平行四边形
图8
C
3．【推理能力】小惠自编一题：“如图9，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将该题目与小洁同学交流，小洁认为这道题目还需要再补充一个条件才能进行证明，则这个条件可以是______________________．
图9
OA＝OC（答案不唯一）
4．如图10，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE至点F，使得EF＝BE，连接CF.
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
图10
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE．∴EF∥BC.
∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC.
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
图10
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求四边形BCFE的面积．
答图2
解：如答图2，过点E作EG⊥BC于点G.
由（1）知，四边形BCFE为菱形．
∴△EBC是等边三角形．
随 堂 测
返回目录
1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，将△ABC沿BC翻折，得到的△DBC与△ABC组成四边形ABDC，连接AD，则线段AD的长为( )
A．6
B．8
C．12
D．14
图1
C
图2
2．(2023 沈阳)如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE．求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，DB＝DC．∴EB＝EC，FB＝FC.
∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.
又DB＝DC，∴△EBD≌△FCD(AAS).
∴EB＝FC．∴EB＝FB＝FC＝EC．
∴四边形EBFC是菱形．
3．(2023 张家界)如图3，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求证：AE∥BF；
图3
证明：∵AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD.
又AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD(SSS).
∴∠A＝∠B．∴AE∥BF.
(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．
图3
证明：由(1)知，△AEC≌△BFD.
∴∠ECA＝∠FDB．∴EC∥DF.
又EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形．(共23张PPT)
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质（二）——对角线
探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．
课标要求
课前预行四边形的性质 几何语言 图示
对角线 对角线__________ OA＝________， OB＝________
互相平分
OC
OD
课堂讲练
例1 如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＋ BD＝18，AB＝6，则△AOB的周长为__________.
图1
15
训练 1．如图2， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AD＝ 12 cm， CD＝10 cm，则△AOD的周长比△COD的周长多______cm.
图2
2
例2 如图3，在 ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：OE＝OF.
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
又∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）．∴OE＝OF.
训练 2．如图4， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．求证：BE∥DF.
图4
例3 如图5，在 ABCD中，AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求AD的长和 ABCD的面积．
图5
训练 3．如图6， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，BC＝2，AB＝4.
（1）求BD的长；
图6
（2）求AC的长．
图6
1．如图7，在 ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝6，OD＝4，则CD的长为（ ）
A．2 B．8
C．10 D．12
图7
C
2．如图8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝a，AD＝b，AC＝2m，BD＝2n（a＞b，m＞n）.
（1）AO＝__________，BO＝__________；
（2）△AOB和△AOD的周长之差为__________，△ABC和△ABD的周长之差为__________.
图8
m
n
a－b
2m－2n
3．如图9，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD于点O，交AD于点E，连接BE．若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为__________.
14
图9
4．如图10， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若△AOB的面积为4，则图中阴影部分的面积是__________．
图10
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO．∴∠EAO＝∠FCO.
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF.
4
1．平行四边形的两条对角线将其分为4个面积相等的小三角形，即图10中S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD．
2．过平行四边形对角线的交点的直线，将其分为面积相等的两部分．特别地，当直线过平行四边形的顶点时，该直线将其分为面积相等的两个三角形．
图10
5．如图11，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上，且∠E＝∠F.
求证：（1）△OBE≌△ODF；
图11
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
又∠BOE＝∠DOF，∠E＝∠F，
∴△OBE≌△ODF（AAS）.
（2）AE＝CF.
证明：由（1）可知，△OBE≌△ODF.
∴OE＝OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.
随 堂 测
1．如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中相等的线段共有( )
A．2组
B．3组
C．4组
D．5组
图1
C
2．如图2，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为__________.
图2
21
3．如图3，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，则AO的长为________．
图3
4
4．如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，点F在OD上，且OE＝OF．求证：∠BAE＝∠DCF.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC．∴∠BAO＝∠DCO.
∴△AOE≌△COF(SAS)．∴∠EAO＝∠FCO.
∴∠BAO－∠EAO＝∠DCO－∠FCO，即∠BAE＝∠DCF.(共20张PPT)
第十八章 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定（二）——角、对角线
探索并证明平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
课标要求
课前预行四边形的判定 几何语言 图示
判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵______________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
∠A＝∠C，∠B＝∠D
OA＝OC，OB＝OD
课堂讲练
例1（判定4） 如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，AB∥CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图1
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．
训练 1．如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图2
证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA，
即∠DAB＝∠DCB.
又∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
例2（判定5） 如图3， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上一点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
训练 2．如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
图4
判定四边形是平行四边形的思路：
已知一组对边平行 已知一组对边相等 已知一组对角相等 已知两条对角线
1．找另一组对边平行 2．找这组对边相等 1．找另一组对边相等 2．找这组对边平行 找另一组对角相等 找两条对角线互相平分
1．下列∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4
B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3
D．1∶2∶3∶3
B
2．如图5，在四边形ABCD中，OA＝OC，BD＝6 cm，那么当OB＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形．
图5
3
3．如图6，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图6
4．如图7，在 ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．求证：四边形BEDF是平行四边形．
图7
5．如图8，AB，CD相交于点O，AC∥BD，OA＝OB，点E，F分别是OC，OD的中点．
求证：（1）OC＝OD；
图8
（2）四边形AFBE是平行四边形．
图8
随 堂 测
1．下列说法错误的是( )
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B
2．如图1，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.下列能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AO＝3，BO＝3，CO＝2，DO＝2
B．AO＝3，BO＝2，CO＝3，DO＝2
C．AO＝3，BO＝2，CO＝2，DO＝3
D．AC＝3，BD＝3
图1
B
3．如图2，根据图中数据，判断四边形ABCD________平行四边形．(填“是”或“不是”)
图2
是
4．如图3，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，经过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，连接AF，CE．求证：四边形AFCE是平行四边形．
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO.
∵点O是AC的中点，∴OA＝OC.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．(共22张PPT)
第十八章 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质（一）——边、角
理解平行四边形的概念；探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等；理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
课标要求
平行四边形的定义：两组对边分别①__________的四边形是平行四边形，用“ ”表示
平行四边 形的性质 边：对边 ②________ _______ 几何语言：AB∥③________，AD∥④________；AB＝⑤________，AD＝⑥________ 图示：
知识点1 平行四边形的性质——边、角
平行
平行且
相等
CD
BC
CD
BC
平行四边 形的性质 角：对角 ⑦________， 邻角 ⑧________ 几何语言： ∠A＝∠⑨________， ∠B＝∠⑩________； ∠A＋∠B＝ ________°， ∠B＋∠C＝ ________° 图示：
相等
互补
C
D
180
180
例1 如图1，已知 ABCD.
（1）若AD＝4，CD＝3，则BC＝________，AB＝________， ABCD的周长为________；
（2）若∠B＝70°，则∠D＝________，∠C＝________，
∠A＝________．
图1
4
3
14
70°
110°
110°
训练 1．如图2，已知 ABCD.
（1）若 ABCD的周长为30 cm，AB＝7 cm，则CD＝________cm，BC＝________cm.
（2）若∠A＝2∠B，则∠B＝________°，∠C＝________°.
图2
7
8
60
120
例2 如图3，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且 BE＝DF．求证：AE＝CF.
若根据题干条件求证AE∥CF呢？
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD.
又BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴AE＝CF.
训练 2．如图4，在 ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥BC于点F．求证：BE＝DF.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE＝DF.
例3 如图5，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于点E.
（1）求证：AD＝DE；
图5
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠BAE＝∠DEA.
（2）若AD＝6，AB＝9，则CE的长为__________；
（3）若∠B＝120°，则∠DEA＝__________.
3
30°
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠DAE＝∠DEA．∴AD＝DE.
知识点2 两条平行线之间的距离
概念：两条平行线中，一条直线上 ________一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
性质：两条平行线之间的任何两条平行线段都 __________.
任意
相等
例4 如图6，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，则下列说法中错误的是（ ）
A．CE＝FG
B．AB＝CD
C．AB的长就是直线a，b之间的距离
D．CE的长就是直线a，b之间的距离
图6
C
1．如图7，在 ABCD中，∠A＋∠C＝80°，则∠D的度数为（ ）
图7
A．80° B．100°
C．120° D．140°
D
2．（2023 凉山州）如图8， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是________．
图8
（4，2）
3．如图9，直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b．若AB＝5，BC＝3，则直线a，b之间的距离为__________.
图9
4
4．【易错点】在 ABCD中，BE是边AD上的高，若∠ABE＝40°，则∠A的度数为_____________．
50°或130°
5．（2023 南充）如图10，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.
求证：（1）AE＝CF；
图10
（2）BE∥DF.
证明：由（1），得△ADF≌△CBE.
∴∠AFD＝∠CEB.
∴BE∥DF.
图10
6．如图11，在 ABCD中，点E在边CD上，连接AE，BE，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA.
（1）求证：AE⊥BE；
图11
证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE.
15
（2）若AE＝4，BE＝3，则 ABCD的周长为__________.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°．∴∠BAE＋∠ABE＝90°.
∴∠AEB＝180°－（∠BAE＋∠ABE）＝90°．∴AE⊥BE.
1．如图1，在 ABCD中，∠B＝40°，则∠C的度数是( )
A．140°
B．70°
C．40°
D．20°
图1
A
2．如图2，直线l1∥l2，其中点P在l1上，点A，B，C，D在l2上，且PB⊥l2，则可以表示l1与l2之间的距离的是( )
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
图2
B
3．如图3，在 ABCD中，下列结论：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠A＋∠C＝180°；④∠A＝∠C．其中一定正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②④
图3
D
4．如图4，在 ABCD中，E为边CD的延长线上一点．
(1)若∠B＝70°，则∠ADE＝__________；
(2)若AD＝2AB＝10，则 ABCD的周长为__________.
图4
110°
30
5．(2023 济南)已知：如图5，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF.
图5
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC.
∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝CO.
∴△AOE≌△COF(AAS)．∴AE＝CF.
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.(共16张PPT)
第十八章 平行四边形
微专题3 平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的探究
特殊四边形之间的判定关系：
例1 （1）如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP. 判断四边形CODP的形状，并说明理由．
图1
解：四边形CODP是平行四边形．
理由如下：
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形．
（2）如图2，将（1）中的平行四边形变为矩形，则结论应变为什么？并说明理由．
图2
（3）如图3，将（1）中的平行四边形变为菱形，则结论应变为什么？并说明理由．
图3
解：四边形CODP是矩形．理由如下：
由（1），得四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∴∠DOC＝90°.
∴四边形CODP是矩形．
（4）如图4，将（1）中的平行四边形变为正方形，则结论应变为什么？并说明理由．
图4
训练 1. 如图5，已知∠BAC，在射线AB，AC上分别取点D，E，使得AD＝AE，M是∠BAC内一点，连接DM，EM，∠BAC＝∠DME，∠BDM＝∠CEM.
（1）求证：四边形ADME为菱形；
图5
证明：∵∠BDM＝∠CEM，
∴180°－∠BDM＝180°－∠CEM，
即∠ADM＝∠AEM.
又∠BAC＝∠DME，∴四边形ADME为平行四边形．
又AD＝AE，∴四边形ADME为菱形．
（2）连接AM，DE相交于点O，若DO＝AO，请判断四边形ADME的形状，并说明理由．
图5
解：四边形ADME是正方形．理由如下：
∵四边形ADME为菱形．
∴AO＝MO，DO＝EO.
又DO＝AO，∴AO＝MO＝DO＝EO.
∴DE＝AM.
∴四边形ADME是正方形．
例2 如图6，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，我们称这个四边形为四边形ABCD的中点四边形．
图6
（1）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
图6
答图1
（2）连接AC，BD，当AC与BD满足怎样的关系时，四边形EFGH是菱形？并说明理由．
图6
答图1
（3）连接AC，BD，当AC与BD满足怎样的关系时，四边形EFGH是矩形？并说明理由．
图6
答图1
解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如答图1.
∵E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
∴EF∥AC，FG∥BD.
当AC⊥BD时，EF⊥FG. ∴∠EFG＝90°.
由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形．
∴四边形EFGH是矩形．
（4）连接AC，BD，当AC与BD满足___________________时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD且AC⊥BD
图6
训练 2. 如图7，顺次连接矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，得到四边形EFGH，则下列说法：①EF＝GH；②四边形EFGH是菱形；③四边形EFGH的周长等于矩形ABCD的周长；④若AB＝AD，则四边形EFGH是正方形．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图7
C
3．如图8，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
图8
（1）记四边形EFGH的周长为l，求证：l＝AC＋BD；
（2）若AC⊥BD，且AC＝8，BD＝10，求四边形EFGH的面积．
图8(共18张PPT)
第十八章 平行四边形
微专题4 特殊四边形的折叠（翻折）问题
类型 角度问题
1．如图1，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处，且DC′经过点P，折痕为DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
图1
C
2．如图2，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝40°，则∠B的度数为________．
图2
120°
3．如图3，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边上的点E处，点A落在点F处，折痕为MN. 若∠NEC＝32°，则∠FMN＝________°.
图3
119
4．如图4，有一张矩形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，AB的对应线段A′B′交AD于点G，再将纸片沿GH折叠，使得GD的对应线段GD′与A′B′在同一条直线上．若∠BFE＝62°，则∠DGH＝________°.
图4
17
类型 长度问题
情况一 利用折叠及特殊图形的性质求解
5．如图5，将 ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A′处．若∠A＝60°，BC＝3，则A′B的长为（ ）
A．5
B．3
C．6
D．4
图5
C
6．如图6，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形ABCD，使点B落在点B′处，折痕为MN. 若B′M＝1.5，则CN的长为（ ）
A．3.5
B．4.5
C．5.5
D．6.5
图6
A
7．取一张边长为2的正方形纸片，按如图7所示的方法折叠两次，则线段DE的长为（ ）
图7
A
8．如图8，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
求证：（1）△ADE≌△CED；
图8
（2）△DEF是等腰三角形．
证明：由（1），得△ADE≌△CED.
∴∠DEA＝∠EDC.
∴△DEF是等腰三角形．
图8
情况二 利用折叠的性质及勾股定理列方程求解
9．如图9，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，延长AB′，交CD于点F. 若F为CD的中点，则B′F的长为（ ）
图9
B
10．如图10，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），AB＝ OA，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，BD交OA于
点E，则点E的坐标为________．
图10
（5，0）
11．如图11，已知正方形ABCD的边长为12，E是边AD的中点，将正方形ABCD沿BE翻折，点A落在点F处，延长EF交CD于点G，则CG的长为________．
图11
4
12．如图12，将 ABCD沿对边上两点连线EF对折，使点A恰好落在点C处．若∠B＝120°，AD＝4，AB＝8，求AE的长．
图12
答图1
解：如答图1，过点C作CG⊥AB，
交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∠ABC＝120°，AD＝4，AB＝8，
∴∠CBG＝60°，BC＝AD＝4.
∴∠BCG＝30°.
答图1
类型 面积问题
13．如图13，在 ABCD中，AB＝4，将△ABC沿对角线AC翻折，点B的对应点为点B′，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为________．
图13
14．如图14，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在边AD上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG.
（1）判断四边形CEFG的形状，并说明理由；
图14
解：四边形CEFG是菱形．理由如下：
由折叠的性质可知，∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.
∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC.
∴∠FGE＝∠GEF. ∴FG＝FE. ∴FG＝CE.
又FG∥CE，∴四边形CEFG是平行四边形．
∵FE＝CE，∴四边形CEFG是菱形．
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
图14(共25张PPT)
第十八章 平行四边形
第6课时 矩形的性质
理解矩形的概念；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等．
课标要求
课前预习
矩形的定义：有一个角是直角的_____________是矩形
矩形的性质 性质1：矩形的四个角都是________； 性质2：矩形的对角线__________； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________ 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝________，AC＝________，AO＝BO＝CO＝DO＝________AC＝BC 图示：
注：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形是轴对称图形，有两条对称轴
平行四边形
直角
相等
一半
90°
BD
课堂讲练
知识点1 矩形的性质
例1 如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，则BC＝________，矩形ABCD的周长为________．
图1
4
14
训练 1．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝6，则∠OBC的度数是________，矩形ABCD的面积为________．
图2
30°
例2 如图3，在矩形ABCD中，E，F是边BC上的两点，且 AF＝DE.
（1）求证：BE＝CF；
图3
（2）若∠AFB＝45°，AB＝4，CF＝2，则EF的长为________．
2
图3
训练 2．如图4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E.
（1）求证：BC＝CE；
图4
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC．∴AD∥CE.
又DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形．
∴AD＝CE．∴BC＝CE.
（2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E＝40°.
图4
∵四边形ABCD为矩形，
∴OC＝OB.
∴∠OBC＝∠OCB＝40°.
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°.
知识点2 矩形性质的推论
例3 如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，D是斜边AB的中点，则∠ACD的度数为________．
图5
25°
训练 3．如图6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，E为AB边的中点，连接DE．若AD＝3，BC＝8，则DE的长为________．
图6
1．如图7，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为边AD的中点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为（ ）
图7
A．45° B．60°
C．90° D．100°
C
2．如图8，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长为________．
图8
3．（2023 台州）如图9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．
图9
4．如图10，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点 为C′，BC′交AD于点E.
（1）求证：△BED为等腰三角形；
图10
证明：由折叠的性质，得∠EBD＝∠DBC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC．∴∠EDB＝∠DBC.
∴∠EDB＝∠EBD．∴BE＝ED.
∴△BED为等腰三角形．
（2）若AB＝2，BC＝8，求AE的长．
图10
5．【数学文化】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图11，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则矩形BCHG的面积为________．
图11
12
随 堂 测
1．如图1，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O，下列说法不一定正确的是( )
A．∠BAD＝90°
B．AC＝BD
C．∠BAC＝∠DAC
D．OA＝OC
图1
C
2．如图2，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝2，则AB的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
图2
A
3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，若∠B＝50°，则∠OCA＝________°.
图3
40
4．如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝9，AB∥x轴．已知A(－3，－3)，则点C的坐标是________．
图4
(3，6)
5．如图5，O为矩形ABCD的对角线BD的中点，OE⊥BC，垂足为E，连接OA．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为________．
图5
6．如图6，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F．若∠CAB＝30°，BC＝2，则线段EF的长为________．
图6(共17张PPT)
第十八章 平行四边形
微专题2 平行四边形的判定与性质综合
类型 与边有关的证明与计算
1．（2023邵阳）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD＝BC
B．∠ABD＝∠BDC
C．AB＝AD
D．∠A＝∠C
图1
D
2．如图2，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，
∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.
又AB∥CD，即BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF.
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF.
∴∠DAF＝∠DFA. ∴AD＝DF.
由（1）可知，BE＝DF. ∴AD＝DF＝BE＝5.
又AE＝3，DE＝4，∴AE2＋DE2＝AD2.
∴△AED是直角三角形，∠AED＝90°.
图2
类型 与角有关的证明与计算
3．在 ABCD中，若∠A＋∠C＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．40°
C．110° D．140°
A
4．如图3，在 ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°， ∠ACB＝80°，则∠BCD的度数为（ ）
图3
A．80° B．100°
C．120° D．140°
C
5．如图4，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE＝CD，过点E作EF⊥AB于点F.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
图4
（2）若EF＝EC，∠BAC＝50°，求∠ACD的度数．
图4
类型 与对角线有关的证明与计算
6．如图5，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝12，BD＝10，AB＝m，则m的取值范围是（ ）
图5
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22
C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
A
7．如图6，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
图6
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求OB的长．
图6
8．如图7，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
图7
图7
（2）当AB＝4，AC＝6时，求四边形AECF的面积．
图7
类型 与中位线有关的证明与计算
9．如图8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD的中点，连接OE，OF. 若OE＝2，OF＝3，则 ABCD的周长为（ ）
A．10
B．14
C．16
D．20
图8
D
10．如图9，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F.
（1）求证：DE＝CF；
图9
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，即DE∥CF.
又EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形．
∴DE＝CF.
（2）求EF的长．
图9(共27张PPT)
第十八章 平行四边形
第8课时 菱形的性质
理解菱形的概念；探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直．
课标要求
课前预习
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菱形的定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形
菱形的性质 边：菱形的四条边都__________ 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴_____________________ 图示：
对角线：菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线__________一组对角 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC______BD，OA＝________，OB＝________，∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB
相等
相等
AB＝BC＝CD＝DA
垂直平分
平分
⊥
OC
OD
菱形的性质 对称性：菱形是__________图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴 图示：
周长：C菱形ABCD＝4AB； 面积：S菱形ABCD＝AC·BD
注：菱形具有平行四边形的所有性质
轴对称
课堂讲练
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例1 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）若∠DAB＝60°，则∠ABD＝________°，△ABD是________三角形；
（2）若AC＝8，BD＝6，则该菱形的面积
为________，周长为________．
图1
60
等边
24
20
训练 1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）若∠BAC＝25°，则∠ABD＝________°，∠ADC＝________°；
（2）若AB＝4，∠ABC＝120°，则该菱形的周长为________，面积为________．
图2
65
130
16
例2 如图3，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，CF.
（1）求证：AE＝CF；
图3
（2）若∠AEO＝40°，求∠ACF的度数．
解：∵△AEO≌△CFO，
∴∠AEO＝∠CFO＝40°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∴∠COF＝90°.
∴∠ACF＝90°－∠CFO＝90°－40°＝50°.
图3
训练 2.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1）求证：AE＝AF；
图4
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD.
又S菱形ABCD＝BC·AE＝CD·AF，
∴AE＝AF.
（2）若AC＝6，BD＝8，求AE的长．
图4
1．如图5，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
图5
A．24 B．18 C．12 D．9
A
2．【传统文化】中国结象征着中华民族的传统文化与智慧．小明家有一中国结挂饰（如图6①），他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图6②所示的菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，测得BD＝12 cm，AC＝16 cm，过点O作EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F，则EF的长为________cm.
图6
3．如图7，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE．若∠ABC＝140°，则∠OEB＝________.
图7
70°
4．如图8，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A的坐标为（2，0），∠AOC＝45°，则点B的坐标为________________．
图8
5．【易错题】已知菱形的一组邻角的度数之比为1∶2，其中一条对角线的长为4 cm，则这个菱形的周长为____________________.
6．如图9，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上一点．求证：∠DAE＝∠DCE.
图9
图10
答图1
7．【推理能力】如图10，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上一动点（不与点A，D重合），N是CD边上一动点，且AM＋CN＝1.
证明：如答图1，连接BD.
（1）求证：△BMN是等边三角形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AB∥DC．∴∠NDB＝∠DBA.
∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形．
∴AB＝DB，∠NDB＝∠DBA＝60°．∴∠A＝∠NDB.
答图1
图10
（2）求△BMN面积的最小值．
答图1
答图1
随 堂 测
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1．菱形的边长为5，则它的周长是__________.
2．如图1，BD为菱形ABCD的对角线，若∠A＝50°，则∠BDC的度数为( )
A．130°
B．50°
C．55°
D．65°
图1
20
D
3．若菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为16，则另一条对角线的长为( )
A．14 B．12 C．9 D．7
B
4．如图2，在菱形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠D＝120°，BE＝1，则AC＝________．
图2
3
5．如图3，菱形花坛ABCD的边长为10 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.(小路的宽度可忽略)
(1)求两条小路AC和BD的长；
图3
解：∵四边形ABCD是菱形，
(2)求菱形花坛ABCD的面积．
图3
