(共22张PPT)
第十七章 勾股定理
第3课时 勾股定理的应用（二）——几何作图与计算
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知识点1 利用勾股定理在数轴上表示无理数
例1 用直尺和圆规在如图1所示的数轴上画出表示－ 的点．（保留作图痕迹，不写作法）
图1
解：如答图1，点A即为所求．
答图1
训练 1．如图2，Rt△OAB的直角边OA与数轴重合，OA＝3，AB＝1.以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴交于点C，则点C表示的数为（ ）
图2
D
知识点2 勾股定理在网格与坐标系中的应用
例2 如图3，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请分别求出△ABC的各边长．
图3
训练 2．如图4，在正方形网格中，小正方形的边长都为1，且△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）AB＝________，AC＝________，BC＝________；
（2）求△ABC的面积．
图4
例3 如图5，在平面直角坐标系中，点A（4，5）到原点O的距离为________．
图5
训练 3．如图6，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，2），（2，－2），则线段AB的长为________.
图6
知识点3 勾股定理在折叠问题中的运用
例4 如图7，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝ 5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求CE的长．
图7
图7
在折叠问题中，常根据折叠的性质得出对应的边和角的关系．在求线段长时，常利用勾股定理直接计算；或通过设未知数，在直角三角形中根据勾股定理列方程，运用方程思想求解．
1．如图8，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．25
A
图8
2．如图9，以点B为圆心，BC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A所表示的数为（ ）
图9
B
3．在平面直角坐标系中，点P（x，12）到原点O的距离为13，则x的值为（ ）
A．±5 B．±1
C．5 D．1
A
4．（1）如图10，在数轴上画出表示 的点；
图10
解：如答图2，点A即为所求．
答图2
（2）如图11，在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），画出一个面积为17的正方形．（不写作法，保留画图痕迹）
图11
答图3
解：如答图3，正方形ABCD即为所求（答案不唯一）．
5．如图12，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝17.将△ABC沿BD折叠，使BC落在边AB所在直线上，点C的对应点为C′，连接CC′，求CC′的长．
图12
6．如图13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，求BD的长．
图13
随 堂 测
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1．在平面直角坐标系中，点P(3，－4)到原点的距离是( )
A．3 B．4 C．5 D．7
2．在如图1所示的数轴上，点O表示的数为0，点A表示的数为2，AB⊥OA于点A，AB＝1，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，且点C在点O左侧，则点C表示的数为( )
图1
C
B
3．如图2，在3×3的正方形网格中，若每个小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是( )
图2
D
图3
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1(共37张PPT)
第十七章 勾股定理
第十七章 章末复习
知识点1 勾股定理
1.勾股定理
文字语言：直角三角形斜边的平方等于两直角边
的平方和．
几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.
2.勾股定理的应用：在直角三角形中，已知任意两边长，求第三边的长度．
注：若未指明直角顶点或斜边，则需分类讨论所有可能的情况．
1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2和3，则其斜边的长为（ ）
B
2.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
图1
（1）若b＝4，c＝5，则a＝________；
（2）若∠A＝45°，a＝6，则c＝________．
3
知识点2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
文字语言：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：在△ABC中，a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°.
2.勾股定理逆定理的应用：利用三角形三边长之间的数量关系
判断该三角形是否为直角三角形．
拓展：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数．
3.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．0.6，0.8，1
C．5，12，13 D．7，8，12
C
4.已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且它们满足 （a＋b）2－c2＝2ab，则该三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
B
知识点3 原命题与逆命题
1.互逆命题：我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
5.命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是________________
________．
6.下列说法中，正确结论的个数是（ ）
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题；
③若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
④任何一个定理都有逆定理．
A．1 B．2 C．3 D．4
如果a＝b，那么
|a|＝|b|
A
1．张大爷从家出发去散步，他先向正东方向走了60 m，接着又向正南方向走了80 m，则他此时距家的距离为（ ）
A．60 m B．80 m
C．100 m D．140 m
C
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（ ）
D
3．图2是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边长和直角边长分别是13，12，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
图2
A．16 B．25
C．144 D．169
B
4．如图3，一架人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长AB＝2.5 m，梯子完全撑开后顶端A离地面的高度AD＝2.4 m，则此时梯子侧面的宽度BC＝（ ）
A．0.7 m
B．1.4 m
C．2.4 m
D．2.5 m
图3
B
5．【数学文化】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图4所示的图形验证勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学定理和公式的方法，称为“无字证明”，它体现的数学思想是（ ）
A．方程思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
图4
C
6．小明从一根长6 m的钢条上截取一段后，截取的钢条恰好可以与两根长分别为3 m，5 m的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架（焊接的长度损耗忽略不计），则小明截取的钢条长为（ ）
C
7．如图5，现要用一块宽50 cm、长120 cm的长方形木板撑住一扇卷闸门，则这块木板最多可将这扇卷闸门撑高________cm.
图5
130
8．如图6，圆柱的高为8 cm，底面周长为12 cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行到点B的最短路程为________cm.
图6
10
9．如图7，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航行方向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西40°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处．若A，B两点相距100海里，则此时渔船在港口O南偏西________°的方向．
图7
50
10．如图8，将含有30°角的直角三角板AOB放入平面直角坐标系中，两直角边分别在坐标轴上．若AB＝4，则点A的坐标为____________．
图8
11．如图9，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC沿BD进行翻折，使点A恰好落在边BC上的点A′处，则CD的
长为________.
图9
12．如图10，在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AC＝BC＝ BD＝2，AD＝2 .
（1）求AB的长；
图10
（2）求△ABD的面积．
图10
13．图11①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图11②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板AB长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案：
图11
课题 测量篮板AB的长度
成员 组长：××× 组员：×××，×××
工具 竹竿、皮尺、计算器等
测量示意图 如图，AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同 一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合， 另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一 个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处
测量 数据 竹竿的长度 5米
CD的长度 3米
CE的长度 4米
根据以上方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校篮板AB的长度.
14．如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝ 8 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿射线AC方向运动，设 点P运动的时间为t s.
（1）求BC的长；
图12
图12
（2）当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，求t的值．
答图1
答图2
②如答图2，当BP＝AB时，点P在AC的延长线上，此时AP＝2t.
∵AB＝BP，BC⊥AP，
∴AC＝CP.
∴AP＝2AC＝16，即2t＝16.
解得t＝8.
15．（2023大连改编）如图13，在数轴上，点O表示的数是0，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB长为半径作弧交直线OB于点C，则点C表示的数为___________．
图13
16．（2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图14，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为________．
图14
96
17．（2023随州）如图15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝________．
图15
5
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
D
19．【RJ八下P29题13改编】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观．小星在学习完本章知识后，进行了如下探索：如图16①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，面积分别记作S1，S2，S3.根据勾股定理，可得a2＋b2＝c2，即S2＋S3＝S1.
图16
【知识运用】（1）若c＝7，b＝4，则S2＝________.
33
图16
【知识迁移】（2）如图16②，若分别以Rt△ABC的三边为边向外作等边三角形，则S1，S2，S3之间有什么数量关系？并说明理由．
答图3
解：S2＋S3＝S1.理由如下：
如答图3，记以AB为边的等边三角形为△ABD，
过点D作DE⊥AB于点E.
∵△ABD为等边三角形，DE⊥AB，AB＝c，
答图3
（3）如图16③，若分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，请直接写出S1，S2，S3之间的数量关系．
解：S2＋S3＝S1.
图16
【知识拓展】（4）如图16④，小星将图16③中以AB为直径的半圆沿AB向上翻折，发现翻折后的图形恰好过点C.已知b＝5，c＝10，求阴影部分的面积之和S.
图16(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理的证明及简单运用
探索勾股定理．
课标要求
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1．如图1，每个小方格的面积均为1，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3.
（1）发现：①S1＝________，S2＝________，
S3＝________；
②S1，S2，S3之间的数量关系为____________．
（2）探究：①观察图1，可知△ABC为________三角形；
②AC，BC，AB的数量关系为AC2＋BC2________AB2.
（3）猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b， AB＝c，则a，b，c之间的数量关系为____________．
图1
4
9
13
S1＋S2＝S3
直角
＝
a2＋b2＝c2
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知识点1 勾股定理的证明
例1 图2是著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形．借助它可以通过“面积法”验证勾股定理．请你补全下面的证明过程．
图2
证明：由图2可知，大正方形面积可表示为 S＝c2，
又可表示为 S＝_____________________，
∴___________________＝c2.
∴____________．
由此可得直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方，即证勾股定理成立．
a2＋b2＝c2
图2
训练 1．如图3，用4个全等的直角三角形和1个小正方形可以拼成1个大正方形（无重叠、无缝隙），请你通过此图证明勾股定理，即证明a2＋b2＝c2.
图3
知识点2 勾股定理的简单运用
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
例2 如图4，在一个直角三角形中，已知两直角边的长分别为3和4，则它的斜边长为________．
图4
5
训练 2．如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝4，则AC＝________．
图5
例3 如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3.求BC的长及△ABC的面积．
图6
训练 3．如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c.若a＝2，b＝2a，求c的值及△ABC的周长．
图7
1．【数学文化】勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c＝ （a为勾，b为股，c为弦）．若“勾”为2，“股”为5，则“弦”的值为（ ）
B
2．如图8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，以AC为边向Rt△ABC外作正方形ACDE，则正方形ACDE的面积为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．16
图8
D
3．如图9，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，则斜边BC上的高AD的长为（ ）
图9
A．10 B．4.8
C．5 D．7
B
4．【易错点】已知在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别是a，b，c.若∠C＝90°，c＝10，b＝8，则a＝________．
变式 已知在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别是a，b，c.若c＝10，b＝8，则a＝___________．
在利用勾股定理进行计算时，若未指明直角三角形的直角顶点或者斜边，则需要分类讨论．
6
5．如图10，∠C＝∠ADB＝90°，AD＝1，BC＝CD＝2，则 AB＝________．
6．如图11，在等边三角形ABC中，AB＝4，则△ABC的面积为________．
图10
图11
3
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别是a，b，c.
（1）若∠A＝45°，a＝3，求b，c的值；
随 堂 测
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1．若一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a，b，c之间的数量关系为___________．
a2＋b2＝c2
2．求下列直角三角形中未知边的长度．
3．如图1，在Rt△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，∠A＝30°，则AC的长为________．
图1
4．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝4，则△ABC的面积为________．
图2(共15张PPT)
第十七章 勾股定理
微专题1 利用勾股定理解决最短路径问题
类型 平面图形中的最短路径问题
1．如图1，已知∠B＝∠C＝90°，且AB＝2，
BC＝CD＝6，则A，D两点间的距离是（ ）
A．14 B．12
C．2＋6 D．10
平面图形中的最短路径问题常结合“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”或“轴对称的性质”等知识点，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
图1
D
2．如图2，学校B附近有一条笔直的公路，学生放学后可走AB，BC两条道路到达公路，经测量∠B＝90°，BC＝3 km，AB＝4 km，现需重新修建一条从学校B到公路的道路，则新修建的道路的最短长度为________km.
图2
2.4
3．如图3，某镇政府要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村到河边的距离AC为2 km，B村到河边的距离BD为7 km，且AB两村庄相距13 km.
（1）C，D两点间的距离为________km；
（2）铺设水管的最短长度为________km.
图3
12
15
类型 立体图形中的最短路径问题
情况一 台阶中的最短路径问题
解决立体图形中的最短路径问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形展开成平面图形（或寻找路径所在的平面），转化为平面问题后，再构造直角三角形，利用勾股定理求解．
模型
4．如图4，台阶阶梯每一层高为20 cm，宽为40 cm，长为50 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B，最短路程是多少？
图4
答图1
情况二 几何体表面的最短路径问题
模型 圆柱 正方体
长方体
注：1．圆柱侧面展开图的长方形的长是圆柱的底面周长．
2．正方体的长、宽、高都等于其棱长，因此只有一种情况；长方体的长、宽、高不一定相等，因此需要分三种情况考虑．
5．图5是一个封闭的正方体盒子，其棱长为4 cm，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到点B处去吃食物，则它需要爬行的最短路程为________cm.
图5
6．每年秋分日为“中国农民丰收节”. 如图6，小明用3D打印机制作了一个底面周长为8 cm，高为5 cm的圆柱形粮仓模型. 现要从点A开始绕此模型的侧面到点A的正上方的点B处贴一圈彩色装饰带，则装饰带的最短长度为________cm.
图6
7．如图7，长方体的长、宽、高分别是3 cm，1 cm，6 cm，如果一只小虫从点A开始爬行，经过2个侧面爬行到另一个侧棱的中 点B处．求所有爬行路线中，最短的一条爬行路线的长度．
图7
解：分为以下三种情况：
答图2
答图3
答图4
8．（2023广安）如图8，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为________cm.（杯壁厚度不计）
图8
10
情况三 几何体内部的最短路径问题
9．图9是一个圆柱形饮料罐，其底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长为16的直吸管插入并接触罐底，则露在罐外部分的吸管长度a（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4
C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
B
图9
10．如图10，有一个长为50 cm，宽为30 cm，高为40 cm的长方体木箱，则一根长为70 cm的木棍________完全放入该木箱中．（填“能”或“不能”）
能
图10(共22张PPT)
第十七章 勾股定理
第4课时 勾股定理的逆定理
探索勾股定理的逆定理；结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
课标要求
课前预习
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1.（1）知识回顾：如图1，在△ABC中，若∠C＝90°，则a，b，c的数量关系为____________．
（2）提出猜想：如图1，若△ABC的三边长满足a2＋b2＝c2，则∠C＝________°.
图1
a2＋b2＝c2
90
证明：如图2，作Rt△A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°.
根据勾股定理，得A′B′＝ ＝_______．
由“SSS”可证△ABC________△A′B′C′.
因此∠C＝∠C′＝90°.
（4）得出结论：勾股定理的逆定理：如果
三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么
这个三角形是________三角形．
图2
c
≌
直角
（3）推理验证：如图1，在△ABC中，a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：∠C＝90°.
课堂讲练
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知识点1 用勾股定理逆定理判定直角三角形
例1 如图3，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，求证：△ABC是直角三角形．
图3
证明：根据题意，得AC2＝64，BC2＝36，
AB2＝100.
∴AC2＋BC2＝AB2.
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形．
训练 1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形？如果是，请指出哪一个角是直角．
（1）a＝12，b＝5，c＝13；
解：∵a2＋b2＝122＋52＝169，c2＝132＝169，
∴a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且线段c所对的角是直角．
（2）a＝7，b＝14，c＝15.
解：∵a2＋b2＝72＋142＝245，c2＝152＝225，
∴a2＋b2≠c2.
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．
注：在使用勾股定理的逆定理时，需要先比较三角形三边长的大小，再判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
知识点2 勾股数
满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数．
例2 在下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5
C．4，5，6 D．5，12，13
D
训练 2.下列各组数中，为勾股数的是________．（填序号）
① 1，2，3；
② 9，12，15；
③ 0.3，0.4，0.5;
④ 8，15，17.
②④
知识点3 互逆命题与互逆定理
1.互逆命题：我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
例3 写出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？
（1）如果x＝y，那么x2＝y2；
（2）全等三角形的对应边相等．
注：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
解：（1）逆命题：如果x2＝y2，那么x＝y ．不成立．
（2）逆命题：对应边相等的两个三角形全等．成立．
训练 3.写出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）若两个图形成轴对称，则这两个图形全等．
解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．成立．
（2）逆命题：若两个图形全等，则这两个图形成轴对称．不成立．
1．以下列各组数据为三边长，不能组成直角三角形的是（ ）
C
2．如图4，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点B到AC的距离是（ ）
图4
A．6 B．7
C．8 D．10
A
3．命题“等角的余角相等”的逆命题是____________________
__________________________，这个逆命题是______（填“真”或“假”）命题．
4．若8，a，17是一组勾股数，则a的值为________．
5．若一个三角形三边长的比为3∶4∶5，它的周长是24 cm，则这个三角形的面积为________cm2.
如果两个角的余角
相等，那么这两个角相等
真
15
24
6．如图5，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD.已知AD＝4，CD＝2，BD＝1，BC＝ .
（1）求证：CD⊥AB；
图5
（2）求AC的长．
图5
随 堂 测
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1．下列各组数中，是勾股数的是( )
A．0.9，1.2，1.5 B．3，4，
C．8，15，17 D．5，7，12
C
2．如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c.请结合图形，回答下列问题：
(1)勾股定理的条件是_______________，
结论是________________；
(2)勾股定理的逆定理的条件是_______
_______________，结论是_______________．
图1
∠C＝90°
∠C＝90°
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
3．如图2，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．请回答下列问题：
(1)AB＝________，BC＝________，AC＝________；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)AC边上的高为________．
图2
解：△ABC为直角三角形．
理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，
∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为直角三角形．(共23张PPT)
第十七章 勾股定理
第5课时 勾股定理逆定理的应用
能运用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题．
课标要求
课堂讲练
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知识点1 方位问题
例1 如图1，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以15海里/时的速度向南偏西45°方向航行，乙轮船以20海里/时的速度航行，两小时后，两艘轮船分别到达A，B处，且相距50海里，求乙轮船航行的方向．
图1
解：由题意，得OA＝15×2＝30，OB＝20×2＝40，AB＝50.
图1
∵甲轮船向南偏西45°方向航行，
∴乙轮船向南偏东45°方向航行．
答：乙轮船航行的方向为南偏东45°.
∵302＋402＝2 500，502＝2 500，∴OA2＋OB2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.
训练 1.如图2，小李和小王从一座雕像O处同时出发，计划分别向不同的方向行走一段距离后对雕像进行拍照．已知小李向北偏东40°方向走了150 m到达A处，小王向另一个方向走了80 m到达B处，此时，小李和小王相距170 m，求小王行走的方向．
图2
解：由题意，得OA＝150，OB＝80，AB＝170.
图2
∵1502＋802＝28 900＝1702，∴OA2＋OB2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.
∵小李向北偏东40°方向行走，
∴小王向南偏东50°方向行走．
答：小王行走的方向为南偏东50°.
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
例2 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图3①所示，小明将其抽象成如图3②所示的四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝BC＝ km，CD＝1 km，AD＝3 km.求四边形ABCD的面积．
图3
答图1
又CD＝1，AD＝3，∴CD2＋AD2＝12＋32＝10.
∴AC2＝CD2＋AD2. ∴∠D＝90°.
训练 2.如图4，某中学有一块四边形的空地ABCD.为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠D＝90°，CD＝ 6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m.
图4
图4
（1）求空地ABCD的面积；
答图2
（2）若每种植1 m2草皮需要200元，则学校总共需花费________元．
19 200
1．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，测得桌面的长为80 cm，宽为60 cm，对角线长为110 cm，则做出的这个桌面___________．（填“合格”或“不合格”）
不合格
2．古埃及人曾经用如图5所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中长度为5个结间距的边所对的角便是直角，这样做的依据是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形的稳定性
C．勾股定理
D．勾股定理的逆定理
图5
D
3．如图6，学校在校园围墙边开垦出一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是（ ）
A．48 m2 B．114 m2
C．122 m2 D．158 m2
图6
B
4．如图7，C地与A，B两地之间分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条笔直的河流通过，A，B，C三地之间的距离如图7所示．
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
图7
解：由题图，得AC＝8，BC＝6，AB＝10.
∵62＋82＝102，即BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
∵A地在C地的正东方向，
∴B地在C地的正北方向．
图7
（2）现计划从河道AB段的某一点出发修建一条新河道把河水引到C地，求新河道的最短长度．
答图3
5．如图8，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得AC＝750米，CD＝600米，AD＝450米．
图8
（1）判断CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明．
解：CD是从村庄C到河边最近的路．理由如下：
在△ACD中，AD2＋CD2＝4502＋6002＝7502＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°.
∴CD⊥AB.∴CD是从村庄C到河边最近的路．
图8
（2）求原来的路BC的长．
解：设AB＝BC＝x米，则BD＝（x－450）米．
由（1）知，CD⊥AB.∴∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2＝BD2＋CD2，
即x2＝（x－450）2＋6002.解得x＝625.
答：原来的路BC的长为625米．
图8
随 堂 测
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1．如图1，电工师傅想要检测自己铺设的两条笔直的电线AB和电线AC是否互相垂直，利用他随身携带的有刻度的卷尺，测得AC＝4 dm，AB＝6 dm，BC＝7 dm，则AB与AC________．(填“垂直”或“不垂直”)
图1
不垂直
2．如图2，在一次数学实践活动课上，老师让甲、乙两名同学同时从操场上的同一地点O出发，分别沿一固定方向行走．甲的速度是每分钟16米，乙的速度是每分钟12米，步行5分钟后，甲、乙两人分别到达A，B两点，此时测得AB＝100米．如果甲同学沿西北方向前行，你能根据所学知识判断乙同学行走的方向吗？请说明理由．
图2
解：乙同学行走的方向是东北方向．理由如下：
图2
由题意可知，OA＝16×5＝80，OB＝12×5＝60.
又AB＝100，∴OA2＋OB2＝802＋602＝10 000，AB2＝1002＝10 000.
∴OA2＋OB2＝AB2.
根据勾股定理的逆定理，
△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.
∵甲同学沿西北方向前行，∴∠1＝45°.
∴∠2＝45°，即乙同学行走的方向是东北方向．(共20张PPT)
第十七章 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用（一）——实际问题
能运用勾股定理解决一些简单的实际问题．
课标要求
课堂讲练
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知识点1 利用勾股定理解决实际问题
例1 如图1，从电线杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为________m.
图1
训练 1．如图2，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，则他们少走的路长为（ ）
图2
A．5 m B．4 m
C．3 m D．2 m
B
例2 如图3，一架梯子AB斜靠在竖直墙面上，且AB的长为2.5米，梯子底端离墙面的距离OB为1.5米．
（1）求梯子的顶端A到地面的距离OA；
图3
（2）若梯子的顶端A沿墙面下滑0.5米到点A′，则梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB′为多少米？
图3
训练 2．如图4，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一根长杆AB斜靠在左墙时，长杆底端到左墙面的距离BC为0.7米，顶端与地面的距离AC为2.4米，如果保持长杆底端位置不动，将长杆斜靠在右墙时，顶端与地面的距离A′D为2米．
（1）求长杆AB的长度；
图4
（2）求教学楼走廊的宽度CD.
图4
知识点2 勾股定理结合方程思想解决实际问题
例3 如图5，在一次强风中，一棵高为25米的大树（树干与地面垂直）折断倒下，大树顶部落在离树干底
部15米处，则大树折断处离地面多少米？
图5
解：设大树折断处离地面x米，即AB＝x米．
由题意，得△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.
根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即x2＋152＝（25－x）2.
解得x＝8.
答：大树折断处离地面8米．
训练 3．如图6，小明在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆上升旗用的绳子（一端在旗杆顶部）的长度比旗杆的高度多2米，当把绳子的下端拉开8米后，下端C刚好接触地面，且绳子处于绷直状态，求旗杆AB的高度．
图6
解：设旗杆AB的高度为x米，则绳长为（x＋2）米．
由题意，得∠ABC＝90°，
BC＝8，AB＝x米，AC＝（x＋2）米．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
即x2＋82＝（x＋2）2.解得x＝15.
答：旗杆AB的高度为15米．
1．如图7，一支笔放在圆柱形笔筒中，已知笔筒的内部底面直径是9 cm，内壁高是12 cm，则这支笔的长度可能是（ ）
图7
A．9 cm B．12 cm
C．15 cm D．18 cm
D
2．如图8，为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并测得∠ABC＝90°，AC＝160 m，BC＝128 m， 则A，B两点之间的距离为________m.
图8
96
3．图9是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可得两圆孔中心A和B之间的距离为________mm.
图9
5
4．图10是一架秋千的侧面示意图，秋千AB在静止位置时，下端B到地面的距离OB为0.6 m，当秋千荡到AC的位置时，下端C到地面的距离CD为1.4 m，与静止位置的水平距离CH为2.4 m，求秋千AB的长．
图10
解：由题意，得OH＝CD＝1.4.
∴BH＝OH－OB＝1.4－0.6＝0.8.
设AB＝x，则AC＝x，AH＝x－0.8.
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得AH2＋CH2＝AC2，
即（x－0.8）2＋2.42＝x2.解得x＝4.
答：秋千AB的长为4 m.
5．如图11，在一条绳子AC下端系着一艘小船A，CD为靠水一侧垂直于水面的河岸，小明在河岸上拉着绳子上端从C处水平移动到E处，同时小船从A处水平移动到B处，AB平行于水面，延长AB交CD于点F（绳子始终绷紧，且绳长保持不变）．若CF＝5米，AF＝12米，小船移动的距离AB＝8.25米，求小明向后移动的距离．
图11
图11
随 堂 测
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图1
不能
2．如图2，一根垂直于地面的竹子在离地面6 m处断裂，此时竹子顶端落在离竹子底部8 m远的地方，则此竹子原来的长度为________．
图2
16 m
3．图3是一块四边形菜地ABCD，AD∥BC，连接BD，∠CBD＝90°，经测量，AB＝13 m，AD＝5 m，CD＝20 m，求该菜地的面积．
图3
