(共21张PPT)
第十六章 二次根式
第5课时 二次根式的除法（二）
了解最简二次根式的概念．
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1.化简下列各式：
对比上述式子化简前与化简后的形式，你有什么发现？
2.满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
课堂讲练
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知识点1 最简二次根式
例1 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
D
训练 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
D
例2 将下列二次根式化成最简二次根式．
训练 2.将下列二次根式化成最简二次根式．
知识点2 二次根式的除法
例3 化简：
训练 3.化简：
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A
2．计算：
3．已知一长方形的面积为48 cm2，长为 cm，则其宽为________cm.
4．计算 的结果为________．
5．先化简，再求值： ，其中
6．据研究，从高空抛下的物体落到地面所用的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响）．
（1）分别求从50 m和100 m的高空抛下的物体落到地面所用的时间t1和t2.
（2）t2是t1的多少倍？
随 堂 测
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D
D(共22张PPT)
第十六章 二次根式
第3课时 二次根式的乘法
了解二次根式（根号下仅限于数）乘法运算法则．
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探究
发现
结论 二次根式的乘法法则： ＝________（a≥0，b≥0）；反过来， ＝________·________（a≥0，b≥0）
2
5
10
10
3
4
12
12
＝
＝
课堂讲练
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知识点 二次根式的乘法法则
例1 计算：
训练 1.计算：
例2 化简：
训练 2.化简：
例3 计算：
训练 3.计算：
B
2．（2023衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有
该运算法则成立的条件是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0
C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
D
3．（2023广东）计算：
6
4．计算：
5．（2023天津）计算 的结果为________．
1
6．计算：
7．在△ABC中，BC＝ cm，BC边上的高为 cm，则△ABC的面积为________cm2.
随 堂 测
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3
C(共22张PPT)
第十六章 二次根式
第4课时 二次根式的除法（一）
了解二次根式（根号下仅限于数）除法运算法则．
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发现
结论
＝
＝
课堂讲练
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知识点 二次根式的除法法则
例1 计算：
训练 1.计算：
例2 化简：
训练 2.化简：
例3 计算：
训练 3.计算：
1．计算 的结果是（ ）
B
2．等式 成立的条件是（ ）
A．a＞5 B．a≥0且a≠5
C．a≠5 D．a≥0
A
3．已知一个长方形的面积是 ，宽是 ，则它的长是（ ）
C
4．计算：
6
5．计算：
随 堂 测
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A
A(共27张PPT)
第十六章 二次根式
第7课时 二次根式的混合运算
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，
会用它们进行简单的四则运算．
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知识点1 二次根式的混合运算
例1 计算：
训练 1.计算：
例2 计算：
训练 2.计算：
知识点2 与乘法公式结合的相关运用
例3 已知 ，求下列各式的值：
（1）x2－y2；
（2）x2＋xy＋y2.
1．计算 的结果是（ ）
C
2．计算 的结果是___________．
3．计算：
4．已知一长方形的长为（5＋3 ）cm，宽为（5－3 ）cm，则此长方形的面积为________．
7 cm2
5．计算：
6．（2023重庆B卷）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
A
7．已知x＝ －1，求代数式x2＋3x－4的值．
随 堂 测
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A
(1)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝2×2＝4.
(2)x2 ＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝8.(共24张PPT)
第十六章 二次根式
第2课时 二次根式的性质
了解乘方与开方互为逆运算．
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探究
结论
（思考：a可以是负数吗？）
注：（1）（a≥0）表示a的算术平方根； （2）平方运算与开平方运算互为逆运算
2
4
3
9
0
16
4
25
5
0
a
课堂讲练
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知识点1 二次根式的双重非负性： ≥0（a≥0）
例1 已知 ，求x＋y的值．
训练 1.已知实数x，y满足 ，求xy的值．
知识点2 （ ）2＝a（a≥0）
例2 计算：
7
0.3
3
4
5
20
训练 2.计算：
2
16
28
知识点3
例3 化简：
解：（1）原式＝3.
训练 3.化简：
解：（1）原式＝0.6.
1．计算 的结果是（ ）
B
2．下列计算正确的是（ ）
A
3．化简：
x2
4．计算：
5．若 ，则x的取值范围是（ ）
A．x＝5 B．x≤5
C．x≥5 D．x＞5
C
6．已知实数x，y满足 ＋|y＋1|＝0，则（xy）2 024＝________．
1
7．已知实数a，b在数轴上的位置如图1所示，请化简：
.
图1
解：由数轴可知，－1＜a＜0＜b＜1.
∴b－1＜0.
∴原式＝|a|－|b|－|b－1|
＝－a－b－[－（b－1）]
＝－a－b－1＋b
＝－a－1.
8．小球从离地面h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与t2之间的关系可表示为h＝kt2（k≠0），且当h＝20时，t＝2.
（1）请求出k的值；
解：∵当h＝20时，t＝2，
∴20＝22·k.解得k＝5.
（2）请分别求出当h＝10和h＝25时，小球落地所用的时间．
解：由（1），得h＝5t2.
随 堂 测
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B
B
1.7
125
解：∵－2＜a＜5，
∴a＋2＞0，a－5＜0.
∴原式＝a＋2－(5－a)
＝a＋2－5＋a
＝2a－3.(共26张PPT)
第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的概念
了解二次根式的概念
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衔接回顾
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（________）2＝4 4的平方根是________，4的算术平方根是________
（________）2＝9 9的平方根是________，9的算术平方根是________
（________）2＝0 0的平方根是________，0的算术平方根是________
x2＝a（a_______0） a的平方根记作________，a的算术平方根记作________
在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
±2
±2
2
±3
±3
3
0
0
0
≥
课堂讲练
知识点1 二次根式的定义
形如 （a①________0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
≥
例1 下列各式中，一定是二次根式的是______________．（填序号）
②④
训练 1.下列各式中，不是二次根式的是（ ）
B
一个式子是二次根式，需同时满足两个条件：
（1）带二次根号“ ”；（2）被开方数为非负数（正数或0）.
知识点2 有意义 a≥0
例2 要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围．
训练 2.要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围．
例3 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
训练 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1．要使 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2
C．x≤2 D．x≥2
D
2．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
C
3．（2023济宁）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0
C．x≥2 D．x≥0且x≠2
D
4．【易错题】如果a为任意实数，那么下列各式一定有意义的是（ ）
B
5．要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围．
6．（RJ八下P5题3改编）已知一个三角形的面积为30 cm2，其中一条底边长与对应的高的比值为3∶2，则这条底边的长为________cm.
7．【创新应用】已知 ，求x＋y的平方根．
∴x＋y＝2＋7＝9.
∴x＋y的平方根为±3.
随 堂 测
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D
D
A
x>－3
x≥－2且
x≠－1(共23张PPT)
第十六章 二次根式
第6课时 二次根式的加减
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减运算法则．
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合并同类项 合并同类二次根式
举例 方法 举例 方法
2a＋3a ＝(2＋3)a ＝5a 字母及其指数不变，系数相加减 根式不变，
系数相加减
课堂讲练
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知识点1 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
例1 （2023烟台）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
C
训练 1.下列二次根式中，能与 进行合并的是（ ）
B
知识点2 二次根式的加减运算法则
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数（式）相同的二次根式进行合并（即合并同类二次根式）．
例2 计算：
训练 2.计算：
例3 计算：
训练 3.计算：
例4 计算：
训练 4.计算：
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
B
2．下列计算正确的是（ ）
D
3．计算：
0
4．计算：
5．计算：
6．一个长方形的长为 cm，宽为 cm，则它的周长是________cm.
7．已知 的值．
（结果精确到0.01）
随 堂 测
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B
D(共17张PPT)
第十六章 二次根式
习题课 二次根式的相关运用
类型 二次根式的非负性
情况一 利用二次根式的被开方数的非负性
1．要使 有意义，则x的取值范围是（ ）
D
2．已知x，y都是实数，且 ，求yx的平方根．
3．已知实数a满足|2 023－a|＋ ＝a，求a－2 0232的值．
∴a＝2 0232＋2 024.
∴a－2 0232＝2 0232＋2 024－2 0232＝2 024.
情况二 利用二次根式的值的非负性
4．已知实数m，n满足 ＋|n－2|＝0，则m＋2n的值为（ ）
A．3 B．－3
C．0 D．1
A
5．已知实数a，b满足a2＋ ＋16＝－8a，求（a＋b）2 024的值．
∴a＝－4，b＝3.
∴（a＋b）2 024＝（－4＋3）2 024＝1.
6．已知－1＜a＜3，化简|a＋1|－ .
解：∵－1＜a＜3，
∴a＋1＞0，a－4＜0.
∴原式＝a＋1－（4－a）＝2a－3.
7．化简－m 的结果是（ ）
D
类型 二次根式结合乘法公式的运用
8．已知
（1）求x2＋y2的值；
∴x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝42－2×1＝14.
类型 二次根式的估值
10．（2023赤峰）如图1，数轴上表示实数 的点可能是（ ）
图1
A．点P B．点Q
C．点R D．点S
B
类型 二次根式的化简求值
12．先化简，再求值： ，其中x＝4.
13．已知x＝ ＋2，求代数式x2－4x－6的值．
解：x2－4x－6＝x2－4x＋4－4－6
＝（x－2）2－10.(共41张PPT)
第十六章 二次根式
第十六章 章末复习
知识点1 二次根式的定义及有意义的条件
1.一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2.二次根式有意义 被开方数大于等于0.
注：二次根式具有双重非负性，即a≥0，且 ≥0.
1.下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
2.（2023抚顺）若 有意义，则实数a的取值范围是________．
C
a≥2
知识点2 二次根式的性质与乘除法
1.二次根式的性质
2.二次根式的乘、除法运算法则
（1）①乘法法则：
②除法法则：
（2）①乘法法则的逆用：
②除法法则的逆用：
注：二次根式的乘、除法运算法则的逆用常用于二次根式的化简．
3.最简二次根式需同时满足两个条件：
（1）被开方数（式）不含分母；
（2）被开方数（式）中不含能开得尽方的因数或因式．
3.计算：
6
6
18
4.下列根式是最简二次根式的是（ ）
C
5.计算：
6.化简：
3
知识点3 二次根式的加减
1.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
7.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A
8.计算：
知识点4 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的．
9.计算：
1．（2023泰州）计算 等于（ ）
B
2．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠－1 B．x＞－1
C．x＜－1 D．x≤－1
B
3．（2023大连）下列计算正确的是（ ）
D
4．计算 的结果为（ ）
C
5．实数a在数轴上的对应位置如图1所示，则 ＋|a－1|的化简结果为（ ）
图1
A．－1 B．1
C．2a－1 D．－2a
B
6．设6－ 的整数部分为a，小数部分为b，则（2a＋ ）b的值为（ ）
A．6 B．2
C．12 D．9
A
8．计算 的结果为________．
－1
9．（2023哈尔滨）计算 的结果是________.
7．（2023益阳）计算：
10
10．计算：
11．已知 ，则x＋y的平方根为________．
±5
13．计算：
14．已知 ，求代数式x2－xy＋y2的值．
15．圆的半径与其面积之间的关系式为r＝ ，其中r表示圆的半径，S表示圆的面积．已知某圆形场地如图2所示，其中四个相同的小圆形花坛的直径和等于大圆形场地的直径．若每个小圆形花坛的面积为 8 m2，求大圆形场地的直径．（参考数据： ≈2.449，π取3．结果精确到0.1）
图2
图2
（1）求该长方形的宽；
（2）求该长方形的面积．
18．（2023通辽）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
C
19．（2023重庆A卷）估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
B
A
21．（2023自贡）请写出一个比 小的整数：____________
_______.
22．（2023永州）已知x为正整数，写出一个使 在实数范围内没有意义的x值是__________.
23．（2023黄冈）请写出一个正整数m的值使得 是整数：m＝________________．
4（答案不
唯一）
1（或2）
2（答案不唯一）
24．【BS八上P43题3改编】除了利用二次根式的运算法则化简二次根式外，我们还可以借助图形进行直观的解释和验证．如：化简 时，我们可以构造如图3所示的图形，其中图3①是一个面积为8的正方形，图3②是一个面积为2的正方形，根据两图之间的关系，我们可以得到 ＝2 .这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想
B．从一般到特殊的思想
C．数形结合思想
D．类比思想
C
图3
（1）求△ABC的面积；
根据上述材料，解答下列问题：
如图4，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边
的长分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝6.
图4
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1＋h2的值．
图4
