2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷（含解析）

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2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷
考试范围：必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的众数为7
C．这组数据的极差为4 D．这组数据的第80百分位数为9
2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
8．如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．
10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若的三角形有两解
11．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A．
B．与的夹角为
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右. 某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分. 假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为 .
13．中，，当时，的最小值为，则 ．
14．如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限.
(1)求；
(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求.
16．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间.进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的值；
(2)求在被调查的用户中，用电量落在内的户数.
17．在中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
18．如图，已知四面体中，平面，.
(1)求证：；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度.
19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
参考答案：
1．D
【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】这组数据的平均数为，故A正确；
这组数据的众数为7，故B正确；
这组数据的极差为，故C正确；
将这组数据按照从小到大的顺序排列为，
因为，
所以这组数据的第80百分位数为，故D错误.
故选：D.
2．B
【分析】根据题意，求出时，取球的情况，结合独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红，
黑白白，黑白黑，黑白红，
所以.
故选：A.
3．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，
所以，故的虚部为.
故选：A.
4．A
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
5．D
【分析】对已知条件变形，然后由余弦定理直接求解即可.
【详解】因为，且，所以，即，
所以由余弦定理得.
故选：D
6．A
【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或相交，故C错误；
对于D，若，则或，故D错误.
故选：A.
7．C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
8．C
【分析】先利用线面垂直的判定定理推得再利用面积相等在中推得，从而得到，由此得解.
【详解】因为平面，面，所以，
又，，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以
.
又在中，，
在中，，
故，
则，
又，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
当时，为的中点，此时当时，为的中点，
综上所述的最小值是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何解决的系数问题，利用三角形面积公式与面积相等得到即可得解.
9．ACD
【分析】根据复数的概念和运算对各项逐一判断.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，所对应点为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数.
【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，由余弦定理得，
化简得，故为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；
对于D，若，则由正弦定理得，
因为，所以三角形有两解，故D正确；
故选：ABD.
11．BC
【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项．
【详解】对A，因为点，，，
所以，，所以，
所以，故A选项错误；
对B，设与的夹角为，所以，
所以与的夹角为，故B选项正确；
对C，设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项正确；
对D，因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项错误.
故选：BC.
12．85
【分析】设甲的分数为，根据平均数和方差公式求解.
【详解】设甲的分数为，
则5位同学本次考试成绩的平均分为，
所以这五位同学本次考试成绩的方差为
，
解得，所以甲的成绩为85.
故答案为：85
13．
【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解.
【详解】令，则，
又，则点在线段上，
取上靠近点的三等分点，连接，则，
则，
令点关于的对称点为，则，
即有，设，则在中，
有，
即，即，
又，则，
则有，
即，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和.
14．/
【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.
【详解】由平面，平面，得，，
又，，则，
取的中点，连结，由为的中点，得，
因此直线BE与AD所成角为或其补角，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以直线BE与AD所成角的余弦值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出；
（2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【详解】（1）设，
因为，所以，
因为，的虚部为2，
所以，得，
因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以，，
所以解得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，，
因为，
所以，，
所以.
16．(1)
(2)70
【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出的值；
（2）用100乘以的频率即可
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由频率分布直方图，可得用电量落在内的户数为
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可证明；法二：根据正弦定理和射影定理化简即可证明；
（2）根据余弦定理和完全平方公式计算可得，结合同角的平方关系和三角形面积公式计算即可求解.
【详解】（1）法一：根据正弦定理，
整理得，
因为，所以，
由正弦定理可得；
法二：由，
由射影定理知（因为），
故.
（2）因为，由余弦定理可得，
即，又，故，
从而，解得，
因为，所以，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)10
(3)
【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直；
（2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可；
（3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.
【详解】（1）因为平面，平面BCD，则，
又，，平面ABC，所以平面，
因为平面ABC，所以.
（2）由（1）可知：，，
且平面，平面ABC，则，
且其余各棱均不垂直，可得；
由平面，且平面，平面，
可得平面平面，平面平面，
同理：由平面可得：平面平面，
且其余各面均不垂直，可得；
由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得；
综上所述：.
（3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD，
所以彩带的最小长度为图2平面图中的长，
.
由（1）知，
在图1中，因为平面，平面BCD，所以，
又因为，所以，
故在图2中，，
所以在图2中，在中，由余弦定理得，
所以彩带的最小长度为.
19．(1)答案见解析
(2)答案见解析（答案不唯一，符合题意即可）
(3)证明见解析
(4)证明见解析
【分析】（1）根据题意直接写出结果即可；
（2）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（3）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有r个，得到7个分量中有个，进而求得r的值，即可求解；
（4）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意可知：所有3维信号向量为.
（2）设4维信号向量为，，，
可知，
若，等价于，
可知中有2个1，2个，
代入可知：符合上式，
两两垂直的4维信号向量可以为：，，，.
（3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.
（4）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为，
所以，
令所以，所以.
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断.
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