江西省多校联考2023-2024学年高二下学期6月摸底考试数学试卷（含解析）

江西省多校联考2023-2024学年高二下学期6月摸底考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示：
使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230
个数 8 32 45 35 23 26 19 12
估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为( )
A.165 B.170 C.175 D.185
3．抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4．如图，在矩形中，过边上的点，分别作的垂线，分别交于，，过边上点作的垂线，分别交，，于，，，则集合中的元素个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5．已知，集合，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．设是定义在R上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8．已知点，，，动点P满足，则取得最小值时，点P的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子 白子 空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是( )
（参考数据：）
A.的个位数是3 B.的个位数是1 C.是173位数 D.是172位数
10．已知函数在内无极值点，且，则( )
A.
B.的最小正周期为
C.若不等式在区间上有解，则
D.将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
11．如图，在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，,，过点P,E,Q的平面截该正方体所得的截面为，则( )
A.不存在,，使得平面
B.当平面平面时，
C.线段长的最小值为
D.当时，
三、填空题
12．已知，则__________.
13．在三棱锥中，，，，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为__________.
14．已知,分别为椭圆的上 下焦点，，直线l经过点且与E交于B,C两点，若l垂直平分线段，则的周长为__________.
四、解答题
15．学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.
（1）若抽查的学生中，分数段，，，内的女生人数分别为6，24，48，12，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？
不合格 合格 合计
男生
女生
合计
（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.005
2.706 3.841 7.879
16．已知函数.
（1）若，当时，证明：；
（2）若，讨论的单调性.
17．如图，在中，D,E分别为边,的中点，将沿折起到处，F为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若,，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知双曲线的左 右顶点分别为A，B，右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，的离心率为e，在上.
（1）求的方程；
（2）过F的直线l交于C,D两点（C在x轴上方），直线，分别交y轴于点P,Q，判断（O为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
19．对任意正整数n，定义n的丰度指数，其中为n的所有正因数的和.
（1）若，求数列的前n项和；
（2）对互不相等的质数p，m，n，证明：，并求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以在复平面内对应的点为，
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为.
故选：C.
3．答案：D
解析：由得，故抛物线的准线方程为.
故选：D
4．答案：B
解析：在上的投影向量仅有4种情况，分别是，，，，
由数量积的几何意义知也仅有4个不同的值，所以该集合中有4个元素.
故选：B.
5．答案：C
解析：若，则，或，所以，或.
当时，，不满足集合中元素的互异性，故；
当时，，
故由，可得；
反之，当时，显然也成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．答案：A
解析：由，，有，
由正弦定理，得，
则，有，
所以，
当且仅当时等号成立，即最小值为.
故选：A.
7．答案：A
解析：当时，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，
于是当时，，即；
当时，，即.
又为R上的奇函数，
所以当时，，当时，，，
又，
所以的解集为.
故选：A.
8．答案：C
解析：设，由，得，化简得，
由，得，所以，
故当且仅当P，A，C三点共线，且点P在A，C之间时，取得最小值，
此时线段的方程为，由并结合，
解得故此时点P的坐标为.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对于AB,由，，，，，，
个位数分别为3，9，7，1，3，9，7，以4为周期循环往复，
因为余数为1，
故的个位数与的个位数相同，
即的个位数为3，故A正确，B错误；
对于CD，因为，
所以，
因为，
所以为173位数，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：，
由，得，，
所以的最小正周期，
又在内无极值点，所以，
所以，所以，经验证符合条件，
所以，
对于A，，所以A正确，
对于B，的最小正周期为，所以B错误；
对于C，若，则，由在上有解，
得在上有解，所以，解得，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
令，则，
所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：当时，P与D重合，Q与重合，
易证平面，即存在,，使得平面，故A错误；
若平面平面，因为平面平面，平面平面，
所以，设，因为E为的中点，
所以P为的中点，所以，延长到，使得，
同理可得，又，所以，又E为中点，
所以，所以，所以，故B正确；
由题意知，且，，，
故
（当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立，
所以，故C正确；
当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为，
故的面积为
.，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：-448
解析：由题意知为的展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为.
故答案为：-448.
13．答案：或
解析：因为，所以点P在平面上的射影G为的外心，
如下图，又,，所以的外接圆的半径，
从而三棱锥的高为.
设该三棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，
故球O的表面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意知A为E的左顶点，设E的半焦距为c，则,，
所以线段的中点为，直线的斜率为，
所以l的斜率为，所以直线l的方程为，
又过，所以，解得，
所以.
连接，，因为l垂直平分线段，所以，
所以的周长为.
故答案为：.
15．答案：（1）列联表见解析，测试成绩与性别无关联
（2）分布列见解析，12
解析：（1）由频率分布直方图知，得分在，，，的人数分别为
，，，，
由题意知“不合格”的人数为72，“合格”的人数为108，
故列联表为：
不合格 合格 合计
男生 42 48 90
女生 30 60 90
合计 72 108 180
零假设：测试成绩与性别无关联，
根据列联表中的数据，计算得
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即测试成绩与性别无关联.
（2）在“合格”中抽的人数为，“不合格”中抽的人数为，
故X的取值为，则
，，，
，，
故所求分布列为
X 0 5 10 15 20
P
所以.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）答案见解析
解析：（1）当时，，即证当时，，
令，则，
令，则在区间上恒成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递减，
所以对，，所以，即.
（2），令，得或，
①当时，恒成立，所以在R上单调递增；
②当时，，令，得，或，令，得，
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
③当时，，令，得，或，令，得，
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：取的中点G，连接,，则，且，
由题意知,，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
由题意知,，
因为G,F分别为,的中点，所以,，
因为，所以，
因为平面,，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）设，则，，，
所以，所以，
因为在中，，所以，，
所以，，
所以，，两两垂直，故以D为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则，即，
令，解得，所以
设平面的一个法向量，则，即，
令，解得，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）是，
解析：（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，
所以，所以，
又，即在上，所以，
（2）由（1）得，，，设，，
由题意知l的斜率不为0，设l的方程为，
代入的方程并整理，得，
则，，
所以，且，.
直线的方程为，令，得，故，
直线的方程为，令，得，故，
所以
所以为定值，且定值为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析，
解析：（1）因为共有个正因数，它们是1，2，，，，
所以，
即，所以，
所以
令，则；
令，
则，
两式相减，得，
所以，
所以.
（2）证明：因为p，m，n为质数，则的正因数有4个，它们是1，p，，，
m，n的正因数均有2个，分别为1,m和1,n；
的正因数有个，分别为1，p，，，m，，，，n，，，，，，，.
所以，，，
因为，所以
.