学情分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。
课后反思
看完录课，最大的感受就是普通话不标准，自己讲的太多，还可以给学生留更多的思考时间，鼓励引导着学生回答问题，很多不足，继续学习，提升自己的业务水平。
教材分析
教材以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。
在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
效果分析
学生是课堂的主体，通过学生回答问题的情况，我发现学生能掌握数量积的定义，可以用定义去证明数量积的性质，但是对分配律的证明学生很困惑，没有思路，我引导学生从定义出发，用分析法的思想去证明这个结论，效果很好。通过课下作业情况，学生能理解数量积的含义及其物理意义，并且可以简单的应用，达到了课标的要求。
观课记录
本节课设计时以问题串的形式出现在PPT上，因此提问与启发次数较多，提问质量高，学生思维量大。探究数量积性质时明确了任务，让学生阅读并自己证明。巡视范围广，有五次。学习氛围浓厚，通过板书看出学习效果不错。不足之处，普通话水平差些，应给予学生更多时间思考归纳。
《2.4.1平面向量数量积的物理背景
及其含义》教学设计
临沂一中 姜彩丽
我从教学任务分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。
一、教学任务分析
前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积。教材以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。
在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
二、 教学目标设计
（一）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
（二）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
（三）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：
即先从物理和数学两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
四、 教学媒体设计
（一）制作高效实用的电脑多媒体课件。主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
（二）设计科学合理的板书（如下图）。一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、 数量积的概念 三、数量积的运算律
1、 概念： 四、应用与提高
例1
2、 概念强调
（1）记法 例2
（2）“规定” 例3
3、几何意义：
二、数量积的性质
图1 板书设计
五、 教学过程设计
（一）概念引入
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用。
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W= 。
（2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F（力）是 量，
S（位移）是 量，
（二）概念获得
1．概念的明晰
已知两个非零向量与b，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos。
在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题4.
问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负，何时为零吗？请完成下表：
角的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且归纳出向量的夹角对数量积正负的影响，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。
3．探究数量积的几何意义
如图，我们把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=││cos
问题5：数量积的几何意义是什么？
（三）性质探究
学生自主探究，并证明性质
（四）运算律的探究
1．运算律的发现
问题6：对一种运算的研究自然会涉及运算律，我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
学生可能会提出以下猜测：
①·= ·
②（·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：
2．明晰数量积的运算律
3．证明运算律
学生独立证明运算律（2）
我把运算运算律（2）的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<0时，向量与λ，与λ的方向 的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。
（五）理解掌握
例1（师生共同完成）例1 已知 |a|= 5 ，|b|= 4， a与 b的夹角θ = 120°，求 a · b .
例2（学生独立完成）对任意向量 ，b是否有以下结论：
（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2-2
例3（学生独立完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种运算？
本节教材共安排了4道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的定义的直接应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。例3的主要作用是继续巩固性质和运算律。为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：
1．下列两个命题正确吗？为什么？
①若≠0，·=0,则=0。
②若≠0，·＝·，则＝．
2．已知△ABC中，=, =，当· <0或·＝0时，试判断△ABC的形状。
安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，
通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
（六）小结反思
1.知识层面
2.思想方法层面
布置作业：
1．课本P121习题2.4A组1、2、3。
2．拓展与提高：
已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，
-4与 7-2垂直求与的夹角。
在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。
六、教学评价设计
评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：
（一）通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。
（二）在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。
（三）通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
（四）通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。
课件17张PPT。2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义临沂一中
姜彩丽问题1： 我们研究了向量的哪些运算？
这些运算的结果是什么？问题2： 我们是怎样引入向量的加法运算的？
我们又是按照怎样的顺序研究这些运算的？问题3： 如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 s
（1） 力 F 所做的功 W= ____ _
（2） 请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是_____量
F （力）是______量
s （位移）是______量|F| |s| cosθ 标矢矢概念获得1. 数量积的定义
定义： a·b=|a| |b| cosθ
问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积符号的因素是什么？概念获得2. 数量积的几何意义
向量投影的概念：
问题5：数量积的几何意义是什么？。
OABbaB1|b| cosθθ概念获得ABbaB1θBbB1。
O|b| cosθ2. 数量积的几何意义
向量投影的概念：
问题5：数量积的几何意义是什么？
数量积 a·b 等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cosθ 的乘积 数量积的性质设a和b都是非零向量，则探究数量积的运算律 问题6：我们学过了实数乘法的哪些运算律？
这些运算律对向量数量积是否适用？ 探究数量积的运算律运算律：（1）a · b = b · a
（2）(λa ) · b = λ (a · b ) = a · (λ b )（3）(a + b) · c = a · c + b · c 探究数量积的运算律运算律：（3）(a + b) · c = a · c + b · c 任取一点O，作OA = a ， AB = b ，OC = c .
| a + b | cosθ = | a | cosθ1 + | b | cosθ2 .
∴ | a + b | | c | cosθ = | a | | c | cosθ1 + | b | | c | cosθ2 .
∴ (a + b) · c = a · c + b · c证明：应用与提高例1 已知|a| = 5 ，| b | = 4， a与 b的夹角θ = 120°，求 a · b .应用与提高例2 对任意向量 a ，b是否有以下结论：
（1）
（2）应用与提高课堂小结知识层面思想方法层面拓展与提高 已知a ，b都是非零向量，且a - 2b与a 垂直， b-2a与b垂直，求a 与 b的夹角作业：高一数学课本P108 第1，2，6，7题评测练习
1、下列两个命题正确吗？为什么？
①、若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0．
②、若a≠0，a·b＝a·c，则b=c．
2、已知△ABC中，, ，当a·b<0或a·b＝0时，试判断△ABC的形状。
安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，
通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
课标分析
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
